Numeri intoccabili

I numeri intoccabili (untouchable number) sono numeri interi positivi che non sono uguali alla somma dei divisori propri di nessun numero.

Dove per divisori propri di un numero n intendo i divisori ad eccezione del numero stesso (n).

Ad esempio, i divisori propri dei primi 10 numeri interi sono

Numero Divisori propri Somma dei divisori propri
1
2 1 1
3 1 1
4 1, 2 3
5 1 1
6 1, 2, 3 6
7 1, 1
8 1, 2, 4 7
9 1, 3 4
10 1, 2, 5 8

Nota. La somma dei divisori propri del numero 4 è 1+2 = 3. Quella del numero 8 è 1+2+4=7. E via dicendo.

Le somme dei divisori propri dei primi dieci numeri sono 1, 3, 4, 6, 7, 8.

Pertanto, i numeri 1, 3, 4, 6, 7, 8 non sono numeri intoccabili perché sono uguali alla somma dei divisori propri di qualche numero.

Viceversa i numeri 2, 5 sono numeri intoccabili.

Nota. Il numero 9 non è intoccabile perché è uguale alla somma dei divisori propri di 15 ossia 1+3+5=9.

I primi numeri intoccabili sono: 2, 5, 52, 88, 96, 120, 124, 146, 162, 188, 206, 210, 216, 238, 246, 248, 262, 268, 276, 288, 290, 292, 304

Dal punto di vista formale, nella teoria dei numeri un numero n è intoccabile quando soddisfa l'equazione

$$ \sigma(x)-x = n $$

La funzione sigma è la somma dei divisori (d) del numero (x).

$$ \sigma(x) = \sum_{d|x} d $$

Esempio. La funzione sigma di 8 è $$ \sigma(8) = 1+2+4+8 = 15 $$ Pertanto, la somma dei divisori propri di 8 è $$ \sigma(8) - 8 = (1+2+4+8) - 8 = 7 $$

    Osservazioni

    Alcune osservazioni sui numeri intoccabili

    • I numeri intoccabili sono infiniti
    • I successori (1+p) dei numeri primi (p) non sono numeri intoccabili

      Dimostrazione. Considero un numero primo p qualsiasi e il suo quadrato p2. I divisori propri del quadrato del numero primo sono 1+p. Pertanto, il successore (1+p) del numero primo (p) è uguale alla somma dei divisori propri del numero p2. Di conseguenza, il numero (1+p) non è intoccabile.

    • Congettura di Goldbach
      Ogni numero pari (2n) maggiore di 6 posso esprimerlo come somma di due numeri primi distinti p e q. $$ 2n = p+q $$

      Esempio. Il numero 8 è la somma dei numeri primi 7+1, il numero 10 è la somma dei numeri primi 2+3+5, il numero 12 è la somma dei numeri primi 7+5, ecc.

    • Non esistono altri numeri intoccabili dispari oltre il numero 5.

      Dimostrazione. Se ogni numero pari è la somma di due numeri primi $$ 2n = p+q $$ allora la somma dei divisori propri di p e q è $$ 1+p+q = 2n+1 $$ Pertanto, nessun numero dispari (2n+1) dopo 6 è intoccabile.

    • Al momento non è chiaro se, oltre 2 e 5, esistano altri numeri primi primi intoccabili.

    E così via.


     
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