Esercizio studio del limite 20

Devo studiare il limite

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} $$

Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0

Si tratta di uno dei più importanti limiti notevoli.

Per risolvere il limite sostituisco la funzione trascendente sin(x) con il polinomio algebrico ottenuto usando la formula di MacLaurin di ordine 1 per x→0

$$ \sin(x) = x + o[x^1] $$

Sostituisco sin(x)=x+o[x]

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x+o[x]}{x} $$

Per la proprietà degli o piccoli o[x]=x·o[1]

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x+ x \cdot o[1]}{x} $$

Metto in evidenza la x e semplifico

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x (1+o[1])}{x} $$

$$ \lim_{x \rightarrow 0} 1+o[1] $$

$$ 1 + \lim_{x \rightarrow 0} o[1] $$

La funzione o[1] è una funzione infinitesima ossia prossima a zero per x→0

$$ 1 + 0 $$

Pertanto, il limite della funzione per x→0 è uguale a uno.

$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 $$

E così via.