Esercizio studio del limite 19
Devo studiare il limite
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3} $$
Il limite è una forma indeterminata del tipo 0/0
Per risolverlo sostituisco la funzione trascendente sin(x) con il polinomio algebrico ottenuto usando la formula di MacLaurin di ordine 3 per x→0
$$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + o[x^3] $$
$$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{3 \cdot 2 \cdot 1} + o[x^3] $$
$$ \sin(x) = x - \frac{x^3}{6} + o[x^3] $$
Nota. Utilizzo la formula di MacLaurin ordine 3 perché la funzione nel limite ha un polinomio di grado 3 al denominatore.
Sostituisco sin(x)=x-x3/6+o[x3]
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin(x)-x}{x^3} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{[x-\frac{x^3}{6}+o[x^3]]-x}{x^3} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{x^3}{6}+o[x^3]}{x^3} $$
Per la proprietà degli o piccoli o[x3]=x3 ·o[1]
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{-\frac{x^3}{6}+x^3 \cdot o[1]}{x^3} $$
Metto in evidenza la x e semplifico
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^3 \cdot (-\frac{1}{6}+ o[1])}{x^3} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} -\frac{1}{6}+ o[1] $$
$$ -\frac{1}{6} + \lim_{x \rightarrow 0} o[1] $$
La funzione o[1] è una funzione infinitesima ossia prossima a zero
$$ -\frac{1}{6} + 0 $$
Pertanto, il limite della funzione per x→0 è uguale a meno un sesto.
$$ \lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin(x)-x}{x^3} = -\frac{1}{6} $$
E così via.
