Esercizio studio del limite 18
Devo studiare il limite
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{e^x-1} $$
Questo limite genera una forma indeterminata del tipo 0/0
Per risolvere il limite sostituisco le funzioni trascendenti sin(x) ed ex con i polinomi algebrici ottenuti usando la formula di MacLaurin di ordine 1 per x→0
$$ \sin(x) = x + o[x] $$
$$ e^x = 1+x+o[x] $$
Sostituisco sin(x)=x+o[x]
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{e^x-1} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + o[x]}{e^x-1} $$
Sostituisco ex=1+x+o[x]
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + o[x]}{[ 1+x+o[x] ]-1} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + o[x]}{x+o[x]} $$
Per la proprietà degli o piccoli o[x]=x·o[1]
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x + x \cdot o[1]}{x+ x \cdot o[1]} $$
Metto in evidenza la x e semplifico
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \cdot (1 + o[1])}{x \cdot (1+ o[1])} $$
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + o[1]}{1+ o[1]} $$
Le funzioni o[1] sono funzioni infinitesime che tendono a zero per x→0
$$ \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 + o[1]}{1+ o[1]} = \frac{1}{1} = 1 $$
Pertanto, il limite della funzione per x→0 è uguale a uno.
E così via.
