La radice quadrata non è un'operazione interna ai numeri razionali
Per dimostrare che la radice quadrata non è un'operazione interna ai numeri razionali considero il caso della radice quadrata di due
$$ \sqrt{2} $$
Divido l'insieme dei numeri razionali non negativi Q in due sottoinsiemi
- l'insieme delle frazioni apparenti (numero naturali)
- l'insieme delle frazioni non apparenti
Poi verifico a quale sottoinsieme appartiene la radice di due
1] Frazioni apparenti
Le frazioni apparenti sono dei numeri naturali.
Esempio. Le frazioni 4/2 e 2/1 sono frazioni apparenti perché sono entrambe uguali a un numero naturale. $$ \frac{4}{2} = \frac{2}{1} = 2 $$
Nessun numero naturale elevato al quadrato dà come risultato 2.
$$ 1^2 = 1 \\ 2^2 = 4 \\ 3^2 = 9 \\ \vdots $$
Pertanto la radice quadrata di due √2 non appartiene al sottoinsieme delle frazioni apparenti.
2] Frazioni non apparenti
Per esclusione, la radice quadrata di due dovrebbe appartenere al sottoinsieme delle frazioni non apparenti.
$$ \sqrt{2} = \frac{a}{b} $$
Pertanto il numero a/b è una frazione non apparente.
Nota. In una frazione non apparente il numeratore non è multiplo del denominatore.
Se a/b è la radice quadrata di due √2 allora il quadrato di a/b è uguale a 2
$$ \sqrt{2} = \frac{a}{b} \Leftrightarrow ( \frac{a}{b} )^2 = 2 $$
Tuttavia, se a/b è una frazione non apparente anche il suo quadrato (a/b)2 è una frazione non apparente.
Esempio. Se considero una qualsiasi frazione non apparente. Ad esempio $$ \frac{3}{2} $$ anche il suo quadrato è una frazione non apparente $$ ( \frac{3}{2} )^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} $$ perché nelle frazioni non apparenti il numeratore e il denominatore sono numeri coprimi (primi fra loro) ossia non hanno fattori primi in comune.
Da questo deduco che l'uguaglianza seguente è impossibile
$$ (\frac{a}{b})^2 = 2 $$
perché (a/b)2 è una frazione non apparente (non è un numero naturale) mentre il numero 2 è una frazione apparente (numero naturale).
3] Conclusione
In conclusione, la radice quadrata di due non è una frazione apparente, né una frazione non apparente.
Pertanto, la radice quadrata di due non appartiene all'insieme dei numeri razionali.
$$ \sqrt{2} \notin Q $$
Questo basta ad affermare che la radice quadrata non è un'operazione interna ai numeri razionali.
Dimostrazione alternativa
Questa dimostrazione si basa su una successione di approssimazioni per difetto e per eccesso.
L'obiettivo della dimostrazione è trovare una radice quadrata che non appartiene ai numeri razionali.
Ad esempio, considero la radice quadrata di due.
$$ \sqrt{2} $$una prima
Cerco due numeri interi il cui quadrato sia la migliore approssimazione di due per difetto e per eccesso.
$$ 1^2 < 2 < 2^2 $$
In seconda approssimazione cerco due numeri razionali con una cifra decimale nell'intervallo (12;2) e (2;22) il cui quadrato sia la migliore approssimazione di due per difetto e per eccesso.
$$ 1.4^2 < 2 < 1.5^2 $$
Nota. Per trovare la migliore approssimazione per difetto e per eccesso calcolo il quadrato dei numeri razionali a una cifra in modo crescente a partire da 1 (estremo inferiore della diseguaglianza) fino a trovarne uno che supera il numero 2. $$ 1.0^2 = 1 \\ 1.1^2=1.21 \\ 1.2^2 = 1.44 \\ 1.3^2=1.69 \\ 1.4^2= 1.96 \\ 1.5^2 = \color{red}{2.25} $$ Pertanto la migliore approssimazione per difetto è 1.4 mentre la migliore approssimazione per eccesso è 1.5.
Ripeto lo stesso procedimento per trovare le approssimazioni successive aggiungendo ogni volta una cifra decimale in più
$$ 1.41^2 < 2 < 1.42^2 $$
$$ 1.414^2 < 2 < 1.415^2 $$
$$ 1.4142^2 < 2 < 1.4143^2 $$
$$ 1.41421^2 < 2 < 1.41422^2 $$
La successione delle approssimazioni per difetto è crescente
$$ s = 1 \ , \ 1.41 \ , \ 1.414 \ , \ 1.4142 \ , \ 1.41421 \ , \ ... $$
La successione delle approssimazioni per eccesso è decrescente
$$ s = 2 \ , \ 1.42 \ , \ 1.415 \ , \ 1.4143 \ , \ 1.41422 \ , \ ... $$
Entrambe le successioni convergono alla radice quadrata di due man mano che aumento il numero delle cifre decimali.
Tuttavia, le successioni non convergono a un numero finito, né a un numero illimitato periodico. Le successioni convergono a un numero decimale illimitato non periodico.
Per definizione i numeri razionali comprendono i numeri finiti e i numeri illimitati periodici.
Poiché la radice quadrata di due è un numero decimale illimitato non periodico, deduco che la radice quadrata di due non è un numero razionale.
$$ \sqrt{2} \notin Q $$
Pertanto, la radice quadrata non è un'operazione interna ai numeri razionali.
Nota. Lo stesso ragionamento posso ripeterlo con le radici di qualsiasi indice (radice cubiche, radice quarte, ecc.). Quindi, in generale le radici ennesime non sono un'operazione interna ai numeri razionali.
E così via.
