Invariante completo
Cos'è un invariante completo
Un invariante completo è una proprietà che rimane costante (invariata) dopo una trasformazione.
La conoscenza degli invarianti completi è molto utile, perché mi permette di capire se due oggetti sono equivalenti o il tipo di trasformazione matematica o geometrica.
Esempi. In algebra lineare sono invarianti completi il determinante e il rango di una matrice. E' un invariante completo anche la distanza tra due punti del piano cartesiano dopo una rotazione o una traslazione, ecc.
Un esempio pratico
Esempio 1
Il determinante è un invariante completo della trasposizione di una matrice quadrata, perché non cambia dopo la trasposizione.
Ad esempio, considero questa matrice
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} $$
Il determinante della matrice è
$$ \det \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 5 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 - 4 \cdot 5 = 3-20 = -17 $$
La matrice trasposta di M è la seguente
$$ M^T = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} $$
Il determinante della matrice trasposta MT è sempre -17
$$ \det \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 4 & 2 \end{pmatrix} = 1 \cdot 2 - 5 \cdot 4 = 3 - 20 = -17 $$
Esempio 2
Il rango è un invariante completo della trasposizione perché non cambia dopo la trasposizione.
Ad esempio, considero la matrice M
$$ M = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix} $$
Il rango della matrice è uguale a 2
$$ r(M)=2 $$
Calcolo la matrice trasposta della matrice quadrata M
$$ M^T = \begin{pmatrix} 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{pmatrix} $$
Il rango della matrice trasposta MT è sempre uguale a 2
$$ r(M)=2 $$
E così via.
