Interi irriducibili e primi
Nei numeri interi l'insieme dei primi è uguale all'insieme degli irriducibili.
Tuttavia, questa non è una regola generale.
Nella teoria algebrica esistono strutture algebriche ( anelli ) in cui i primi non coincidono con gli irriducibili.
Nota. Le nozioni di "primo" e "irriducibile" non sono generalmente equivalenti. Sebbene ogni elemento primo sia necessariamente irriducibile, il contrario non è sempre vero. L'irriducibilità è una proprietà più generale e, in alcune strutture algebriche, un elemento irriducibile può non essere primo. Tuttavia, nei domini a fattorizzazione unica, i due concetti coincidono.
Gli interi irriducibili
Definizione
Un intero a ∈ Z è detto irriducibile se ogni volta che si scrive come prodotto bc, dove b e c sono interi, uno dei due fattori è un'unità. ∀a=bc→b=u∨c=u
Sono esclusi dalla definizione di interi irriducibili lo zero e le unità.
Esempio 1
Posso scrivere il numero 7 come prodotto di due fattori interi bc.
7=7⋅1
7=(−7)⋅(−1)
Non c'è altro modo per scrivere il numero 7.
In entrambi i casi, uno dei due fattori è un'unità.
Pertanto, il numero intero 7 è un elemento irriducibile.
Esempio 2
Il numero 6 non è irriducibile
6=3⋅2
6=(−3)⋅(−2)
6=6⋅1
6=(−6)⋅(−1)
Ci sono dei casi in cui posso scrivere il numero 6 come prodotto, senza che uno dei due fattori sia un'unità.
Gli interi primi
Definizione
Un intero a è detto primo se ogni volta che divide un prodotto bc, dove b e c sono interi, allora divide almeno uno dei due fattori. ∀a|bc→a|b∨a|c
Esempio
Nell'insieme dei numeri interi Z prendo il numero a=7.
Il numero 7 divide tutti i prodotti bc.
7|7⋅17|7⋅27|14⋅27|(k⋅7)⋅j⋮
Ogni volta che 7 è un divisore di un prodotto bc, divide anche uno dei due fattori.
Non ci sono altri casi possibili.
Interi irriducibili e primi
Ogni elemento primo dell'insieme dei numeri interi è anche un elemento irriducibile.
Dimostrazione
Presi tre interi a,b,c, il numero a è un elemento irriducibile se
a=bccon b=1 o c=1
Per ipotesi il numero a è anche primo
a|bc→a|b∨a|c
Quindi esiste un intero k (o j) tale che
a|b→b=aka|c→c=aj
Se a|b allora k deve essere uguale a c che per definizione è uno
{a=bccon b=1 o c=1b=ak
Se a|c allora j è uguale b c che per definizione è uno
{a=bccon b=1 o c=1c=aj
Pertanto, nell'insieme dei numeri interi ogni numero primo è anche un numero irriducibile.
Nota. Come già anticipato, questa coincidenza non è generale. Vale solo per i numeri interi. Per questa ragione è importante studiare in modo separato le definizioni di elementi irriducibili e primi. In senso generale si parla di "elementi" di un insieme e non di numeri.
Ogni elemento irriducibile nell'insieme dei numeri interi Z è anche un numero primo
Dimostrazione
Sia p un elemento irriducibile di Z.
Se p divide ab e divide anche a oppure b, allora è un numero primo.
p|ab→p|a∨p|b
Se p divide ab esiste un intero h tale che
p|ab→ab=ph
Suppongo per ipotesi che p non divida il numero a
allora il massimo comune divisore tra p e a è uguale a 1
MCD(a,p)=1
secondo l'identità di Bézout il MCD si può scrivere come combinazione di due interi j e k
MCD(a,p)=ja+kp
In questo caso, essendo mcd=1, devono esistere due interi j e k tali che
ja+kp=1
Ora moltiplico entrambi i membri dell'uguaglianza per b
b(ja+kp)=1⋅b
jab+kpb=b
Poiché p è un divisore sia di ab che di di p.
Di conseguenza p è un divisore anche di b.
Ho così dimostrato che p|ab e p|b.
