Interi irriducibili e primi
Nei numeri interi l'insieme dei primi è uguale all'insieme degli irriducibili.
Tuttavia, questa non è una regola generale.
Nella teoria algebrica esistono strutture algebriche ( anelli ) in cui i primi non coincidono con gli irriducibili.
Nota. Le nozioni di "primo" e "irriducibile" non sono generalmente equivalenti. Sebbene ogni elemento primo sia necessariamente irriducibile, il contrario non è sempre vero. L'irriducibilità è una proprietà più generale e, in alcune strutture algebriche, un elemento irriducibile può non essere primo. Tuttavia, nei domini a fattorizzazione unica, i due concetti coincidono.
Gli interi irriducibili
Definizione
Un intero a ∈ Z è detto irriducibile se ogni volta che si scrive come prodotto bc, dove b e c sono interi, uno dei due fattori è un'unità. $$ \forall a=bc \rightarrow b=u ∨ c=u $$
Sono esclusi dalla definizione di interi irriducibili lo zero e le unità.
Esempio 1
Posso scrivere il numero 7 come prodotto di due fattori interi bc.
$$ 7 = 7 \cdot 1 $$
$$ 7 = (-7) \cdot (-1) $$
Non c'è altro modo per scrivere il numero 7.
In entrambi i casi, uno dei due fattori è un'unità.
Pertanto, il numero intero 7 è un elemento irriducibile.
Esempio 2
Il numero 6 non è irriducibile
$$ 6 = 3 \cdot 2 $$
$$ 6 = (-3) \cdot (-2) $$
$$ 6 = 6 \cdot 1 $$
$$ 6 = (-6) \cdot (-1) $$
Ci sono dei casi in cui posso scrivere il numero 6 come prodotto, senza che uno dei due fattori sia un'unità.
Gli interi primi
Definizione
Un intero a è detto primo se ogni volta che divide un prodotto bc, dove b e c sono interi, allora divide almeno uno dei due fattori. $$ \forall a|bc \rightarrow a|b ∨ a|c$$
Esempio
Nell'insieme dei numeri interi Z prendo il numero a=7.
Il numero 7 divide tutti i prodotti bc.
$$ 7 | 7 \cdot 1 \\ 7 | 7 \cdot 2 \\ 7 | 14 \cdot 2 \\ 7 | (k \cdot 7) \cdot j \\ \vdots $$
Ogni volta che 7 è un divisore di un prodotto bc, divide anche uno dei due fattori.
Non ci sono altri casi possibili.
Interi irriducibili e primi
Ogni elemento primo dell'insieme dei numeri interi è anche un elemento irriducibile.
Dimostrazione
Presi tre interi a,b,c, il numero a è un elemento irriducibile se
$$ a=bc \:\:\: \text{con b=1 o c=1}$$
Per ipotesi il numero a è anche primo
$$ a|bc \:\: \rightarrow a|b ∨ a|c $$
Quindi esiste un intero k (o j) tale che
$$ a|b \rightarrow b=ak \\ a|c \rightarrow c=aj $$
Se a|b allora k deve essere uguale a c che per definizione è uno
$$ \begin{cases} a=bc \:\:\: \text{con b=1 o c=1} \\ b=ak \end{cases} $$
Se a|c allora j è uguale b c che per definizione è uno
$$ \begin{cases} a=bc \:\:\: \text{con b=1 o c=1} \\ c=aj \end{cases} $$
Pertanto, nell'insieme dei numeri interi ogni numero primo è anche un numero irriducibile.
Nota. Come già anticipato, questa coincidenza non è generale. Vale solo per i numeri interi. Per questa ragione è importante studiare in modo separato le definizioni di elementi irriducibili e primi. In senso generale si parla di "elementi" di un insieme e non di numeri.
Ogni elemento irriducibile nell'insieme dei numeri interi Z è anche un numero primo
Dimostrazione
Sia p un elemento irriducibile di Z.
Se p divide ab e divide anche a oppure b, allora è un numero primo.
$$ p|ab \rightarrow p|a∨ p|b $$
Se p divide ab esiste un intero h tale che
$$ p|ab \rightarrow ab = ph $$
Suppongo per ipotesi che p non divida il numero a
allora il massimo comune divisore tra p e a è uguale a 1
$$ MCD(a,p)=1 $$
secondo l'identità di Bézout il MCD si può scrivere come combinazione di due interi j e k
$$ MCD(a,p)=ja+kp $$
In questo caso, essendo mcd=1, devono esistere due interi j e k tali che
$$ ja+kp = 1 $$
Ora moltiplico entrambi i membri dell'uguaglianza per b
$$ b(ja+kp) = 1 \cdot b $$
$$ jab+kpb = b $$
Poiché p è un divisore sia di ab che di di p.
Di conseguenza p è un divisore anche di b.
Ho così dimostrato che p|ab e p|b.
