La divisione dei numeri interi
Dati due numeri interi a e b, si dice che a divide b e esiste un intero c tale che il prodotto ac è uguale a b. $$ \frac{b}{a} = c \rightarrow b = a \cdot c $$
Quando un numero intero a divide il numero intero b si scrive
$$ a | b $$
Dove
Nota. Se a è un divisore di b, allora è un divisore anche di tutti i multipli k di b $$ a | k \cdot b $$ Dove k è un numero intero qualsiasi.
Il divisore comune
Due numeri interi a e b possono avere un divisore comune c appartenente all'insieme dei numeri interi Z.
$$ c | a \\ c | b $$
Nota. Se c è un divisore comune di a e b, allora è un divisore anche di ogni intero esprimibile nella seguente forma $$ c | ( k \cdot a + j \cdot b ) $$ Dove k e j sono numeri interi.
Dimostrazione
Se c|a allora esiste un intero k tale che ck = a. $$ ck = a $$ Se c|b allora esiste un intero j tale che cj=b. $$ cj = b $$ Dati due numeri interi qualsiasi s,t $$ c|sa+tb \\ c|s(ck)+t(cj) \\ c|c(sk+tj) $$ E' evidente che c sia un divisore di c(sk+tj).
Unità dei numeri interi
Se un numero intero a divide il numero 1, il numero intero a è detto unità. $$ a|1 $$
E' ben evidente che nell'insieme dei numeri interi Z soltanto due numeri sono divisori di 1.
Sono a=1 e a=-1.
$$ \frac{1}{a} \begin{cases} a=1 \rightarrow \frac{1}{1} \\ a=-1 \rightarrow \frac{1}{-1} \end{cases} $$
La divisione tra interi con resto
Non è detto che un intero sia sempre un multiplo di un altro.
In questi casi la divisione tra interi genera un quoziente e un resto.
$$ a=b + r $$
Se il resto è un intero positivo, allora l'elemento a non è un divisore di b.
Dati due interi a e b, con b≠0, allora esistono due interi q e r detti rispettivamente quoziente e resto, tali che $$ a=b \cdot q + r $$
E detta divisione euclidea.
Il resto è un numero intero compreso tra 0 e il valore assoluto |b|.
$$ 0 \le r < |b| $$
Se il resto è nullo, allora a è un divisore di b.
Un esempio pratico
Ho due interi a=2 e b=9.
L'elemento a non è un divisore di b.
Pertanto, la divisione 9/2 genera un resto.
$$ b = a \cdot q + r \\ 9 = 2 \cdot q + r \\ 9 = 2 \cdot 4 + 1 $$
Il quoziente della divisione è 4 con resto 1.
Il resto è un intero positivo compreso tra 0 e |9|.
E così via
