La regola dei segni della moltiplicazione

Quindi la regola dei segni posso riassumerla in quattro casi concreti:

• \( (+) \cdot (+) = + \)
• \( (-) \cdot (-) = + \)
• \( (+) \cdot (-) = - \)
• \( (-) \cdot (+) = - \)

Questa regola viene spesso appresa a memoria già nei primi anni della scuola media.

Tuttavia, non ci si domanda perché il prodotto di due numeri negativi dia un risultato positivo, o perché il prodotto tra un numero negativo e uno positivo dia un risultato negativo.

Rimando la spiegazione alla dimostrazione in fondo a questa pagina. Inizialmente, preferisco concentrarmi su alcuni esempi per illustrare meglio come funziona la regola.

Esempi pratici

Ecco alcuni esempi pratici in cui applico la regola dei segni nella moltiplicazione.

Il prodotto tra due numeri positivi è positivo

Il prodotto di due numeri positivi, come \( 3 \cdot 4 = 12 \), dà un risultato positivo, poiché entrambi i numeri sono concordi.

$$ 3 \cdot 4 = 12 $$

Spiegazione. Ecco la spiegazione formale considerando i valori assoluti. $$ 3 \cdot 4 = +(|3| \cdot |4|)= +(3 \cdot 4) = 12 $$

Il prodotto tra due numeri negativi è positivo

Se moltiplico due numeri negativi, ad esempio \( (-5) \cdot (-2) = 10 \), il risultato è ancora positivo, dato che i segni sono ancora gli stessi.

Entrambi i numeri sono concordi perché hanno lo stesso segno meno.

$$ (-5) \cdot (-2) = 10 $$

Spiegazione. $$ (-5) \cdot (-2) = +(|-5| \cdot |-2|)= + (5 \cdot 2) = 10 $$

Il prodotto tra un numero positivo e un numero negativo è negativo

Nel caso di un numero positivo e uno negativo, come \( 6 \cdot (-3) = -18 \), il risultato è negativo, perché i due numeri sono discordi ovvero hanno un segno diverso.

Il numero 6 ha segno più mentre il numero -3 ha segno meno.

$$ 6 \cdot (-3) =  -18 $$

Spiegazione. $$ 6 \cdot (-3) = -(|6| \cdot |-3|)= - (6 \cdot 3) = -18 $$

Il prodotto tra un numero negativo e un numero positivo è negativo

Allo stesso modo, se moltiplico un numero negativo per uno positivo, come \( (-7) \cdot 8 = -56 \), ottengo un risultato negativo, dato che i segni dei due numeri sono opposti.

$$ -7 \cdot 8 = -56 $$

Spiegazione. $$ -7 \cdot 8 = -(|-7| \cdot |8|)= - (7 \cdot 8) = -56 $$

Questi esempi mettono in evidenza come, in algebra, il segno del prodotto dipenda dalla concordanza o discordanza dei segni dei numeri.

La dimostrazione

Come si spiega l'origine della regola dei segni? Per dimostrarla analizzo le quattro situazioni separatamente.

A] Il prodotto tra due numeri positivi \( (+) \cdot (+) = + \)

In questo caso i fattori della moltiplicazione sono due numeri positivi $ a>0 $ e $ b>0 $

Il prodotto \( a \cdot b \) rappresenta semplicemente la somma ripetuta di \( a \), presa \( b \) volte.

$$ a \cdot b = \underbrace{a + a + ... + a}_{b \ volte} $$

Poiché sto sommando un valore positivo \( a \) un certo numero positivo \( b \) di volte, il risultato finale sarà positivo.

Si tratta di un principio dell’aritmetica di base:

$$ (+a) \cdot (+b) = c $$

Dove \( c \) è un numero positivo, quindi \( (+) \cdot (+) = + \).

Quindi, il prodotto di due quantità positive rappresenta un’operazione che incrementa il valore complessivo, mantenendo invariato il segno positivo.

Ad esempio, se $ a=3 $ e $ b=4 $ $$ 3 \cdot 4 = 3 + 3 + 3 + 3 $$ $$ 3 \cdot 4 = 12 $$

B] Il prodotto tra un numero negativo e un numero positivo \( (-) \cdot (+) = - \)

In questo caso il primo fattore è un numero negativo $ a>0 $ mentre il secondo è un numero positivo $ b>0 $

Anche in questo caso, posso vedere il prodotto \( a \cdot b \) come una somma ripetuta di \( a \), presa \( b \) volte.

$$ a \cdot b = \underbrace{a + a + ... + a}_{b \ volte} $$

Poiché sto sommando un valore negativo \( a \) un certo numero positivo \( b \) di volte, il risultato finale sarà ancora negativo.

Ad esempio, se $ a=-2 $ e $ b=5 $ $$ (-2) \cdot 5 = (-2) + (-2) + (-2) + (-2) + (-2) $$ $$ (-2) \cdot 5 = -10 $$

Spiegazione alternativa

Per ipotesi iniziale considero due numeri positivi $ a>0 $ e $ b>0 $.

Per la legge di assorbimento del prodotto, qualsiasi numero moltiplicato per zero dà come risultato zero.

$$ a \cdot 0 = 0 $$

Poiché la somma di un numero $ b $ qualsiasi e del suo opposto $ (- b) $ è uguale a zero, posso sostituire lo zero con $ b +(-b) = 0 $

$$ a \cdot [b + (-b)] = 0 $$

Applico la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

$$ a \cdot b + a \cdot (-b) = 0 $$

Per la proprietà invariantiva delle equazioni (o proprietà dell'equivalenza), sottraggo $ a \cdot b $ in entrambi i lati e semplifico

$$ a \cdot b + a \cdot (-b) \color{red}{- a \cdot b} = 0 \color{red}{- a \cdot b} $$

$$ \require{cancel} \cancel{ a \cdot b } + a \cdot (-b) \cancel{- a \cdot b} = - a \cdot b $$

$$  a \cdot (-b) = - a \cdot b  $$

Questo risultato mostra che il prodotto tra due numeri discordi $ a $ e $−b $ è l'opposto del prodotto di a e b.

Poiché $ a $ e $ b $ sono concordi (entrambi positivi) per l'ipotesi iniziale, il prodotto tra i numeri discordi $ a \cdot (-b) $ è negativo.

Questo dimostra che il prodotto di un numero positivo e uno negativo è negativo.

C] Il prodotto tra un numero positivo e un numero negativo \( (+) \cdot (-) = - \)

In questo caso il primo fattore è un numero positivo $ a>0 $ mentre il secondo è un numero negativo $ b<0 $

Per la proprietà commutativa della moltiplicazione

$$ a \cdot b = b \cdot a $$

Quindi, come nel caso precedente, posso vedere il prodotto \( b \cdot a \) come una somma ripetuta di \( b \), presa \( a \) volte.

$$ a \cdot b = \underbrace{b + b + ... + b}_{a \ volte} $$

Poiché sto sommando un valore negativo \( b \) per un numero positivo \( a \) di volte, il risultato finale sarà ancora negativo.

Ad esempio, se $ a=5 $ e $ b=-3 $ $$ 5 \cdot (-3) =  (-3) + (-3) + (-3) + (-3) + (-3) $$ $$ 5 \cdot (-3) = -15 $$

Anche in questo caso potrei dimostrare il risultato utilizzando la stessa spiegazione alternativa dell'esempio precedente, che evito di riscrivere.

D] Il prodotto tra un due numeri negativi \( (-) \cdot (-) = + \)

In questo caso, entrambi i fattori sono negativi, ovvero \( a < 0 \) e \( b < 0 \).

Questa situazione richiede una dimostrazione diversa rispetto alle precedenti, poiché è meno intuitiva.

Ricordo che, per la legge di annullamento del prodotto, qualsiasi numero \( a \) moltiplicato per zero dà zero come risultato, indipendentemente dal segno di \( a \).

$$ a \cdot 0 = 0 $$

Questo accade perché lo zero è l'elemento assorbente della moltiplicazione. Inoltre, la somma di un numero \( b \) e del suo opposto \( -b \) è zero.

$$ b + (-b) = 0 $$

Pertanto, posso sostituire lo zero con la somma \( b + (-b) \) nell’espressione del prodotto.

$$ a \cdot [b + (-b)] = 0 $$

Applico la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione.

$$ a \cdot b + a \cdot (-b) = 0 $$

Per l'ipotesi iniziale \( a < 0 \) e \( b < 0 \) sono entrambi negativi, il che rende \( -b \) un numero positivo.

Di conseguenza, \( a \cdot (-b) \) è il prodotto tra numeri discordi, e quindi, per la regola del segno che ho già dimostrato, risulta un numero negativo.

$$ a \cdot b + \underbrace{a \cdot (-b)}_{<0} = 0 $$

Poiché la somma dà zero e il secondo addendo \( a \cdot (-b) < 0 \) è negativo, questo implica che il primo addendo \( a \cdot b \) debba necessariamente essere positivo affinché la somma sia zero.

$$ \underbrace{a \cdot b}_{>0} + \underbrace{a \cdot (-b)}_{<0} = 0 $$

Dato che entrambi i fattori \( a \) e \( b \) sono negativi per l'ipotesi iniziale, questo dimostra che l’unico risultato possibile del loro prodotto è un numero positivo.

Ad esempio, considero il numero \( -2 \). Per la legge di annullamento del prodotto, il prodotto tra -2 e 0 è nullo. $$ (-2) \cdot 0 = 0 $$ Posso esprimere lo zero come la somma del numero \( 3 \) e del suo opposto \( -3 \). $$ (-2) \cdot [3 + (-3)] = 0 $$ Applico ora la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione. $$ (-2) \cdot 3 + (-2) \cdot (-3) = 0 $$ Il primo termine, \( (-2) \cdot 3 \), è il prodotto di due numeri discordi e quindi è un numero negativo $ -2 \cdot 3 = -6 $. $$ -6 + (-2) \cdot (-3) = 0 $$ Affinché la somma dia come risultato zero, il prodotto \( (-2) \cdot (-3) \) deve necessariamente essere un numero positivo.

E così via.