Gli elementi associati

Dati due elementi a e b appartenenti all'insieme dei numeri interi Z, gli elementi sono detti associati se sono divisori l'uno dell'altro. $$ a|b \\ b|a $$

Due elementi non nulli sono associati se differiscono per il segno.

Ogni numero intero non nullo è associato al suo opposto.

Ad esempio, 4 e -4 oppure 8 e -8, ecc.

Gli elementi associati sono classi di equivalenza composte da due numeri interi diversi dallo zero.

Nota. Soltanto la classe di equivalenza dello zero è composta da un solo elemento, perché nei numeri interi non è definita la divisione per zero.

La dimostrazione

L'elemento a è divisore di b se esiste un altro numero intero k tale che

$$ ak = b $$

L'elemento b è divisore di a se esiste un altro numero intero j tale che

$$ bj = a $$

Ne consegue che i numeri k e j debbano essere necessariamente un'unità.

$$ ak = bj $$

$$ a \cdot u = b \cdot u $$

Dove u può assumere valori uguali a 1 o -1.

Quindi ogni numero intero non nullo è un elemento associato al suo opposto.

Un esempio pratico

Ho il numero intero a=4 e il numero intero b=8.

Posso affermare che a è un divisore di b

$$ a|b = 4|8 $$

Non posso però affermare che b sia un divisore di a.

Devo trovare dei numeri che siano entrambi divisori dell'altro.

Provo con a=4 e b=4

Ora posso affermare che

$$ a|b = 4|4 $$

Nota. Esiste un numero intero k=1 tale che ak=b. $$ a \cdot 1 = b $$

$$ b|a = 4|4 $$

Nota. Esiste un numero intero j=1 tale che bj=a. $$ b \cdot 1 = a $$

Pertanto, ogni elemento è associato con se stesso.

Si tratta però di una soluzione banale, devo trovare elementi associati con due numeri interi diversi

Tuttavia, è facilmente intuibile che sono associati anche a=4 e b=-4

Sono numeri interi diversi a≠b e sono entrambi divisibili tra loro.

$$ a|b = 4|-4 $$

Nota. Esiste un numero intero k=-1 tale che ak=b. $$ a \cdot -1 = b $$

$$ b|a = -4|4 $$

Nota. Esiste un numero intero j=-1 tale che bj=a. $$ b \cdot -1 = a $$

Quindi, ogni elemento è associato al suo opposto.

E così via.