La rappresentazione dei numeri interi

I numeri interi possono essere rappresentati in base 10 o in qualsiasi altra base numerica. $$ n = r_kb^k + r_{k-1}n^{k-1}+...+r_0b^0 $$

Dove n è il numero che voglio rappresentare, b è la base adottata e k è un intero che indica le cifre del numero da destra verso sinistra.

Un esempio pratico

Il numero n=247 in base 10 è composto da

$$ 247 = 2 \cdot 10^2 + 4 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0 $$

La prima cifra a destra indica le unità, la seconda le decine e la terza le centinaia.

Come si trovano le cifre?

Ogni cifra è il resto della divisione del numero per 10

$$ 247 : 10 = 24 \:\:\:\text{con resto r=7} $$

$$ 24 : 10 = 2 \:\:\:\text{con resto r=4} $$

$$ 2 : 10 = 0 \:\:\:\text{con resto r=2} $$

I resti formano il numero 247.

Come trasformare il numero da base a 10 ad altre basi

Per cambiare la base del numero c'è un metodo molto rapido, basta dividere il numero per la base prendendo il resto come cifra del nuovo numero, finché non si ottiene un quoziente nullo.

Esempio

Per ottenere il numero 247 in base due (b=2) divido il numero per due.

$$ 247 : 2 = 123 \:\:\:\text{con resto r=1} $$

$$ 123 : 2 = 61 \:\:\:\text{con resto r=1} $$

$$ 61 : 2 = 30 \:\:\:\text{con resto r=1} $$

$$ 30 : 2 = 15 \:\:\:\text{con resto r=0} $$

$$ 15 : 2 = 7 \:\:\:\text{con resto r=1} $$

$$ 7 : 2 = 3 \:\:\:\text{con resto r=1} $$

$$ 3 : 2 = 1 \:\:\:\text{con resto r=1} $$

$$ 1 : 2 = 0 \:\:\:\text{con resto r=1} $$

Concatenando tutti i resti dall'ultimo al primo ottengo il numero in base due ( binaria )

$$ (247)_{10} = (11110111)_{2} $$