Il quadrato perfetto

Un quadrato perfetto è un numero intero che si ottiene elevando un numero intero al quadrato. In termini matematici, un numero $ n $ è un quadrato perfetto se esiste un intero $ k $ tale che: \[n = k^2\]

Ecco alcuni esempi pratici di quadrati perfetti

$$ 1 = 1^2 \\ 4 = 2^2 \\ 9 = 3^2 \\ 16 = 4^2 \\ 25 = 5^2 \\ ... $$

Le proprietà dei quadrati perfetti

i quadrati perfetti hanno alcune proprietà interessanti:

Hanno sempre un numero dispari di divisori
I quadrati perfetti hanno sempre un numero dispari di divisori perché se considero un numero intero positivo $ n $ e il suo insieme di divisori, per ogni divisore $ d $ di $ n $, esiste anche un divisore corrispondente $ \frac{n}{d} $ poiché $ d \times \frac{n}{d} = n $. Questi divisori si presentano a coppie. Tuttavia, se $ n $ è un quadrato perfetto $ n = a^2 $ allora esiste un divisore particolare $ a $ (cioè la radice quadrata di $ n $) che non si accoppia con un numero diverso da sé bensì con se stesso $ a \times a = n $. Quest'ultimo viene contato una sola volta. Di conseguenza, il numero totale dei divisori risulta dispari.
Ad esempio, per $ n = 16 $ che è $ 4^2 $ i divisori sono: $ 1, 2, 4, 8, 16 $. Si nota subito che $ 1 $ si accoppia con $ 16 $ per due volte ( $ 1 \times 16 = 16 \times 1 = 16 $ ) e lo stesso vale per $ 2 $ con $ 8 $ in quanto per la proprietà commutativa ( $ 2 \times 8 = 8 \times 2 = 16 $ ). Lo stesso non accade per il divisore $ 4 $, la radice quadrata di $ 16 $, perché non forma una coppia distinta e viene contato una sola volta ( $ 4 \times 4 = 16 $ ). $$ 1 \times 16 = 16 \\ 2 \times 8 = 16 \\ \color{red}{4 \times 4 = 16} \\ 8 \times 2 = 16 \\ 16 \times 1 = 16 $$ Pertanto, in ogni quadrato perfetto il conteggio dei divisori è dispari.
Le loro radici quadrate sono numeri interi
Se la radice quadrata di un numero non è un intero, allora NON è un quadrato perfetto.

Ad esempio, $ 10 $ non è un quadrato perfetto perché la sua radice è $ \sqrt{10} \approx 3.162 $, che non è un numero intero.
L’ultima cifra segue uno schema
Se un numero è un quadrato perfetto, la sua ultima cifra può essere solo: 0, 1, 4, 5, 6 o 9. Quindi, se un numero finisce con 2, 3, 7 o 8, allora NON è un quadrato perfetto (es. 23, 57, 98, ecc.).
La somma dei primi $ n $ numeri dispari dà un quadrato perfetto
Se considero i primi $ n $ numeri dispari e li sommo, il risultato è sempre un quadrato perfetto. $$ 1+ 2 + 3+ ... +(2n-1) = n^2 $$ Ecco alcuni esempi pratici $$ 1 = 1^2 \\ 1 + 3 = 4 = 2^2 \\ 1 + 3 + 5 = 9 = 3^2 \\ 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4^2 \\ 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 = 5^2 \\ ... $$ Vale la pena specificare che la sommatoria include numeri dispari sia primi che composti. Quindi, non solo numeri primi dispari ma "i primi" numeri dispari in generale a partire da 1.

Dimostrazione. Considero la somma dei primi numeri dispari $$ 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2. $$ Provo a fare un ragionamento per induzione. La base del ragionamento la ottengo per $ n = 1 $ $$ 1 = 1^2 $$ Quindi la proprietà è vera per $ n = 1 $. Il passo induttivo è la supposizione che la proprietà sia vera per un certo $ n $, cioè: $$ 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) = n^2. $$ A questo punto devo dimostrare che vale anche per $ n+1 $, cioè che: $$ 1 + 3 + 5 + \dots + (2n-1) + [2(n+1)-1] = (n+1)^2 $$ Utilizzando l'ipotesi induttiva ottengo: $$ n^2 + [2(n+1)-1] = n^2 + (2n+2-1) = n^2 + 2n + 1 $$ Ma $ n^2 + 2n + 1 = (n+1)^2 $ è un quadrato, dunque la proprietà vale anche per $ n+1 $. $$ n^2 + [2(n+1)-1] = n^2 + (2n+2-1) = (n+1)^2 $$
I quadrati perfetti sono sempre positivi
Ovviamente, perché un numero reale moltiplicato per sé stesso non può essere negativo.
Il resto della divisione di quadrato perfetto
Un quadrato perfetto se diviso per 3 oppure per 4 darà sempre come resto 0 o 1
Differenza tra due quadrati perfetti
Ogni coppia di quadrati perfetti consecutivi segue una regola precisa: $$ (n+1)^2 - n^2 = 2n + 1 $$ Quindi, ogni differenza è un numero dispari che cresce sempre più.
Ad esempio, calcolo la differenza dei alcuni quadrati consecutivi $$ 4^2 - 3^2 = 16 - 9 = 7 $$ $$ 5^2 - 4^2 = 25 - 16 = 9 $$ $$ 6^2 - 5^2 = 36 - 25 = 11 $$ $$ 7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13 $$ In ogni caso il risultato è $ 2n+1 $ dove $ n $ è il primo tra i due quadrati perfetti consecutivi, quello inferiore. Ad esempio, se $ n=3 $ e $ n+1= 4 $ allora $ 2n+1 = 2 \cdot 3 + 1 = 7 $ che è esattamente la differenza tra i quadrati dei due numeri consecutivi $ 4^2-3^2=16-9=7 $.
Quadrati perfetti e le potenze di 2
Un quadrato perfetto ottenuto da una potenza di 2 può essere solo del tipo $2^{2k}$ ovvero con esponente pari.
Ad esempio $$ 4 = 2^2 \\ 16 = 2^4 \\ 64 = 2^6 $$ Se invece un numero è tipo $2^5 = 32$, allora NON è un quadrato perfetto.

Dimostrazione. Considero un numero della forma $2^n$, dove $n$ è un intero non negativo. Perché $2^n$ sia un quadrato perfetto, nella sua scomposizione in fattori primi ciascun esponente deve essere un numero pari. Quindi, affinché $2^n$ sia un quadrato perfetto, l'esponente $n$ deve essere pari, ovvero $n=2k$ per qualche intero $k$. $$ 2^n = 2^{2k} $$ Applico una proprietà delle potenze e scrivo la potenza di 2 in questa forma equivalente: $$ 2^n = 2^{2k} = (2^k)^2 $$ Questo conferma che il quadrato perfetto delle potenze di 2 si ottiene solo se l'esponente pari $2^{2k}$.

E così via.