L'insieme dei numeri naturali è composto da infiniti numeri

Per dimostrare questa affermazione basta ricordarsi i 5 assiomi che definiscono l'insieme dei numeri naturali e il sesto assioma che introduce lo zero.

Inizialmente considero l'insieme dei numeri naturali vuoto.

$$ N = \{ \} $$

In base al sesto assioma dei numeri naturali N₀ lo zero è l'elemento neutro della somma

Quindi, aggiungo il numero zero nell'insieme dei numeri naturali N₀

$$ N_0 = \{ 0 \} $$

In base al quinto assioma dei numeri naturali l'elemento neutro del prodotto è il numero 1.

Quindi, aggiungo 1 all'insieme dei numeri naturali N₀ e N.

$$ N_0 = \{ 0 \ , \ 1 \ \} $$

$$ N = \{ \ 1 \ \} $$

Nota. L'insieme dei numeri naturali N₀ (numeri interi non negativi) include anche lo zero mentre l'insieme dei numeri naturali N non lo include.

Elemento successivo di 1

L'elemento successivo di 1 è

$$ 1 + 1 = 2 $$

Dimostro per esclusione che il simbolo 2 è un nuovo numero

• Se 2 = 0 allora 1+1=0 ma questo però viola il primo assioma dei numeri naturali (chiusura di somma e prodotto) perché 1 di N mentre 0 di N₀. Quindi, lo zero 0∉N non appartiene all'insieme N. Secondo il primo assioma la somma di due numeri naturali 1+1 deve essere un altro numero naturale. Quindi, 2 è diverso da 0.
• Se 2=1 allora 1+1=1 ma questo viola il sesto assioma dei numeri interi non negativi N₀ (elemento neutro della somma). Se 1+1=1 allora 1 si comporta come un elemento neutro della somma. Tuttavia, questo è impossibile perché l'elemento neutro della somma è zero e ho già dimostrato l'unicità dell'elemento neutro della somma. Quindi, 2 è diverso da 1.

Una volta provato che 2 è diverso da 0 e da 1, non essendoci altri numeri nell'insieme N e N₀, ne deduco che si tratti di un nuovo numero.

Quindi, aggiungo il simbolo 2 all'insieme N e N₀

$$ N_0 = \{ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \} $$

$$ N = \{ 1 \ , \ 2 \} $$

Elemento successivo di 2

L'elemento successivo di 2 è

$$ 2 + 1 = 3 $$

Dimostro per esclusione che il simbolo 3 è un nuovo numero

• Per le stesse ragioni già viste precedentemente 3 è diverso sia da 0 che da 1
• Se 3=2 allora 2+1=3=2 ma questo viola il sesto assioma (elemento neutro della somma). Se 2+1=2 allora 2 si comporta come l'elemento neutro della somma. Questo è però impossibile perché l'elemento neutro della somma è zero ed è unico. Quindi 3 è diverso da 2.

Una volta provato che 3 è diverso da 0, 1, 2 e non essendoci altri numeri nell'insieme N e N₀, ne deduco che si tratti di un nuovo numero.

Quindi, aggiungo il simbolo 3 all'insieme N e N₀

$$ N_0 = \{ 0 \ , \ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \} $$

$$ N = \{ 1 \ , \ 2 \ , \ 3 \} $$

Per le stesse ragioni sono nuovi numeri anche gli elementi successivi.

Pertanto, gli insiemi N e N₀ sono composti da infiniti elementi.

E così via.