Il cambiamento di base del logaritmo
La formula del cambiamento di base dei logaritmi è data dal quoziente $$ \log_c x = \frac{ \log_b x }{ \log_b c } $$ dove b è la vecchia base e c è la nuova base
In alcuni testi la formula è scritta anche in questa forma equivalente
$$ \log_b x = \frac{ 1 }{ \log_c b } \cdot \log_c x $$
Dove 1/logc(b) è detto modulo di trasformazione.
Un esempio pratico
Ho il logaritmo su base 3 di 15
$$ \log_3 15 $$
Per trasformare il logaritmo su base 5 applico la formula di conversione
$$ \log_c x = \frac{ \log_b x }{ \log_b c } $$
Sapendo che l'argomento del logaritmo è x=15, la vecchia base è b=3 e la nuova base è c=5
$$ \log_5 15 = \frac{ \log_3 15 }{ \log_3 5 } $$
Applico la proprietà del quoziente del logaritmo.
$$ \log_5 15 = \log_3 \frac{ 15 }{ 5 } $$
$$ \log_5 15 = \log_3 3 $$
Ho così ottenuto il logaritmo di 15 scritto in una nuova base.
La dimostrazione
Un logaritmo equivale a una potenza
$$ x = \log_c a \Leftrightarrow a=c^x $$
Pertanto, posso scrivere il logaritmo x=logc a in questa forma equivalente
$$ a=c^x $$
Per la proprietà invariantiva calcolo il logaritmo su base b in entrambi i membri dell'equazione
$$ \log_b a = \log_b c^x $$
Per la proprietà del logaritmo di una potenza l'esponente x esce dal logaritmo
$$ \log_b a = x \cdot \log_b c $$
Quindi ricavo algebricamente l'esponente x in funzione di tutto il resto
$$ x = \frac{\log_b a}{\log_b c} $$
Sapendo che x=logc a
$$ \log_c a = \frac{\log_b a}{\log_b c} $$
Ho ottenuto la formula di conversione della base del logaritmo.
E così via.
