La chiusura transitiva e riflessiva

Sia <S,R> una struttura relazionale con una relazione binaria R sull'insieme S.

La chiusura riflessiva e transitiva di R è la più piccola relazione riflessiva e transitiva R' (un'altra relazione su S) che contiene R. $$ R ⊆ R' $$

Sia R una relazione su AxA, la chisura transitiva e riflessiva di R è una relazione R* tale che $$ R*= R^+ ∪ \{ <x,x> | x \in A \} $$

Dove R⁺ è la chiusura transitiva.

La chiusura transitiva

La chiusura transitiva di R è la più piccola relazione transitiva R' su S che contiene la relazione R.

Sia R una relazione su AxA, la chiusura transitiva di R è una relazione R+ tale che $$ R^+= \{ <x,y> | \: ∃ \: y_1,...,y_n \in A, \: \\ con \: n ≥2, y_1=x, y_n=y \\ tali \: che \: <y_i,y_{i+1}> \in R, \: i=1,...,n-1 \} $$

La chiusura riflessiva

La chiusura riflessiva di R è la più piccola relazione riflessiva R' su S che contiene R.

E così via.