Il teorema del perimetro di poligoni simili

In due poligoni simili il rapporto tra i perimetri è uguale al rapporto di due lati omologhi. $$ P : P' = l : l' $$ 

In altre parole, se due poligoni sono simili allora il rapporto dei perimetri di due poligoni simili è uguale al loro rapporto di similitudine k.

Il concetto fondamentale è che, per poligoni simili, non solo le forme sono proporzionali, ma questa proporzione si estende anche ai perimetri.

Ovviamente questo teorema vale solo se i poligoni sono simili.

Un esempio pratico

In questo esempio prendo in considerazione due triangoli simili ma lo stesso discorso varrebbe per qualsiasi tipo di poligono regolare o non regolare.

 

In questo caso il rapporto di similitudine è k=2

$$ \frac{6}{3} = \frac{4}{2} = \frac{7.2}{3.6} = 2 $$

Anche il rapporto tra i perimetri dei due poligoni è uguale a 2.

$$ \frac{6+4+7.2}{3+2+3.6} = \frac{17.2}{8.6} = 2 $$

Pertanto, in due poligoni simili il rapporto tra i perimetri ha lo stesso rapporto di similitudine dei lati omologhi.

La dimostrazione

Considero due poligoni simili.

La definizione di similitudine implica che i due poligoni abbiano i lati omologhi proporzionali.

$$ a : a' = b : b' = c : c' $$

Questo vuol dire che i rapporti tra i lati omologhi è costante ed è pari a k:

$$ \frac{ a }{ a' } =  \frac{ b }{ b' } =  \frac{ c }{ c' } = k $$

Poiché il rapporto è costante, posso anche scrivere

$$ \frac{ a+b+c }{ a'+b'+c' } =  k $$

Dove la somma a+b+c=P è il perimetro del primo poligono, mentre la somma a'+b'+c'=P' è il perimetro del secondo poligono.

$$ \frac{ P }{ P' } = k $$

Sapendo che anche il rapporto tra due lati omologhi dei poligoni simili è uguale a k

$$ \frac{ a }{ a' } = k $$

deduco che hanno lo stesso rapporto di similitudine.

$$ \frac{ P }{ P' } = \frac{ a }{ a' } = k $$

Questo vuol dire che il rapporto tra i perimetri è uguale al rapporto tra i lati omologhi dei due poligoni simili.

$$ P : P' =  a : a'  $$

E così via.