La cardinalità degli insiemi

La cardinalità di un insieme $ X $ indica il numero di elementi contenuti nell'insieme. Per rappresentarla si usa il simbolo $ |X| $

Questo concetto si estende oltre il semplice conteggio degli elementi, specialmente per insiemi di dimensione infinita.

Cardinalità di insiemi finiti
La cardinalità di un insieme finito è il conteggio diretto dei suoi elementi.
Ad esempio, se considero una libreria con una collezione di libri. Se la libreria contiene cinque libri, la cardinalità dell'insieme dei libri è cinque, espressa come $ |A| = 5 $, dove $ A $ è l'insieme dei libri.
Cardinalità di insiemi infiniti
La situazione si complica con gli insiemi infiniti, i quali possono differire significativamente nella loro grandezza.
Ad esempio, l'insieme dei numeri naturali $ \mathbb{N} = \{ 0,1,2,3,... \} $ e quello dei numeri interi $ \mathbb{Z} = \{ ... -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... \} $ sono entrambi infiniti e hanno loro cardinalità "numerabile". Ciò significa che è possibile ordinare i loro elementi in una sequenza infinita. Tuttavia, l'insieme dei numeri naturali è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri interi $ \mathbb{N} \subset \mathbb{Z} $ Un altro insieme infinito è l'insieme dei numeri reali $ \mathbb{R} $ che include tutti i punti di una linea continua e presenta una cardinalità "non numerabile" perché tra due punti distinti qualsiasi esistono infiniti altri punti intermedi. Quindi, i numeri interi sono un sottoinsieme dei numeri reali $ \mathbb{Z} \subset \mathbb{R} $, il che lo rende un infinito di grandezza superiore a quello di $ \mathbb{N} $ o $ \mathbb{Z} $.

In sintesi, la cardinalità non è solo una misura quantitativa degli insiemi; perché introduce l'idea che esistano diversi ordini di infinito, rivelando una struttura più complessa rispetto a quanto ci appare a prima vista.

Osservazioni

Alcune osservazioni e note a margine

Cardinalità di insiemi finiti
Se A e B sono insiemi finiti e A⊆B, allora il numero di elementi (cardinalità) di A è minore o uguale a quelli di B, ovvero ∣A∣≤∣B∣. In altre parole se l'insieme A è un sottoinsieme di B, allora l'insieme A ha un numero minore o uguale di elementi rispetto all'insieme B. $$ A \subseteq B \Leftrightarrow |A| \le |B| $$
Esempio. Ho due insiemi $$ A = \{ 1, 2, 3 \} $$ $$ B = \{ 1, 2, 3, 4 \} $$ E' evidente che A è un sottoinsieme di B perché tutti i suoi elementi appartengono anche a B $$ A \subseteq B $$ L'insieme A è composto da tre elementi, quindi la sua cardinalità è |A|=3 mentre l'insieme B ha quattro elementi e la sua cardinalità è |B|=4. La cardinalità del sottoinsieme A è minore-uguale alla cardinalità dell'insieme B $$ |A| \le |B| $$
Cardinalità di insiemi uguali
Se A e B sono insiemi uguali $ A=B $ allora il numero di elementi di A è uguale a quello di B. Pertanto, i due insiemi hanno la stessa cardinalità $ |A|=|B| $. La cardinalità di un insieme indica il numero di elementi contenuti in quell'insieme. Se due insiemi sono uguali, come nel caso degli insiemi $ A $ e $ B $, la loro cardinalità sarà ovviamente la stessa. $$ A = B \Rightarrow |A| = |B| $$
Esempio. Prendo come esempio due insiemi finiti A e B $$ A = \{1, 2, 3\} $$ $$ B = \{3, 1, 2\} $$ Entrambi gli insiemi contengono gli stessi elementi, anche se in ordine diverso. Quindi, $ A $ e $ B $ sono insiemi uguali e possiamo scrivere $ A = B $. La cardinalità di $ A $ è 3, perché contiene tre elementi unici (1, 2, 3). Analogamente, anche la cardinalità di $ B $ è 3 per lo stesso motivo. Pertanto, gli insiemi A e B hanno la stessa cardinalità. $$ |A| = |B| = 3 $$

E così via.