Minoranti e maggioranti

Cosa sono i maggioranti e i minoranti

Dato un insieme A e un sottoinsieme B⊆A

• un elemento k ∈ A è detto minorante del sottoinsieme B se è minore o uguale a ogni elemento del sottoinsieme B.

  Esempio. Dato l'insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e il sottoinsieme B = { 3, 4 }. I minoranti di B sono { 1, 2, 3 }
  

• un elemento k ∈ A è detto maggiorante del sottoinsieme B se è maggiore o uguale a ogni elemento del sottoinsieme B.

  Esempio. Dato l'insieme A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} e il sottoinsieme B = { 3, 4 }. I maggioranti di B sono { 4, 5, 6 }
  

Quanti minoranti o maggioranti può avere un insieme?

Un insieme può avere uno o più maggioranti o minoranti, oppure non averne affatto.

Alcuni esempi pratici

Alcuni insiemi hanno i minoranti ma non i maggioranti.

Sono detti insiemi limitati inferiormente.

Esempio di insieme senza maggioranti. L'insieme dei numeri reali positivi R⁺ è un insieme infinito composto dai numeri reali nell'intervallo (0,+∞). E' un sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali R. L'insieme R⁺ ha dei minoranti (lo zero e tutti i numeri reali negativi) anche se nessun minorante appartiene a R⁺. Ad esempio lo zero non appartiene a R⁺. Tra lo zero e un qualsiasi numero reale positivo esistono infiniti numeri reali. Inoltre, l'insieme R⁺ non ha maggioranti perché è illimitato superiormente a +∞.

Altri insiemi hanno i maggioranti ma non i minoranti.

Sono detti insiemi limitati superiormente.

Esempio di insieme senza minoranti. L'insieme dei numeri reali negativi R^- è un insieme infinito composto dai numeri reali nell'intervallo (-∞,0). E' un sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali R. L'insieme R^- ha dei maggioranti (lo zero e tutti i numeri reali positivi) anche se nessun maggiorante appartiene a R^-. Ad esempio lo zero non appartiene a R^-. Tra lo zero e un qualsiasi numero reale negativo esistono infiniti altri numeri reali. Inoltre, l'insieme R^- non ha minoranti perché è illimitato inferiormente a -∞.

Poi ci sono gli insiemi con minoranti e maggioranti.

Sono insiemi limitati sia inferiormente che superiormente e sono detti insiemi limitati.

Esempio di insieme con minoranti e maggioranti. L'insieme dei numeri reali compresi tra -1 e +1 è un sottoinsieme dell'insieme dei numeri reali R. Ha infiniti minoranti nell'intervallo (-∞, -1) e infiniti maggioranti nell'intervallo (1,+∞).

Infine, ci sono casi di insiemi senza maggioranti e minoranti.

Esempio di insieme senza minoranti e maggioranti. L'insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di ogni altro insieme dell'universo e non ha maggioranti, né minoranti. Inoltre, qualsiasi insieme illimitato inferiormente e superiormente è sottoinsieme improprio di se stesso (es. l'insieme dei numeri reali R è un sottoinsieme improprio di R). Anche in questo caso non ci sono maggioranti, né minoranti.

E così via.