Minimo
Cos'è il valore massimo
Il minimo m di un insieme A è un elemento di A minore-uguale a tutti gli elementi dell'insieme A $$ \begin{cases} m \in A \\ \\ m \le a \:\:\ \forall \:\: a \in A \end{cases} $$ Il valore minimo è spesso indicato come $$ m=min(A) $$
Un elemento può essere il minimo di un insieme soltanto se appartiene all'insieme stesso.
Se non appartiene all'insieme è detto minorante.
Un insieme può essere senza minimo? Si, un insieme potrebbe anche non avere un valore minimo al suo interno. Non tutti gli insiemi hanno un valore minimo. Ad esempio, l'insieme dei numeri reali R+ positivi non ha un valore massimo perché il suo campo di definizione è (0,+∞). Il numero 0 non appartiene all'insieme dei reali positivi. Tra lo zero e un numero reale qualsiasi r, c'è sempre un altro numero reale r' compreso nell'intervallo 0<r'<r.
Un esempio pratico
Questo insieme è composto da 7 elementi
$$ A = \{ 1, 2, 4, -2, 6, -1, 3 \} $$
Il valore minimo dell'insieme A è -2
$$ min(A) = -2 $$
perché è maggiore-uguale a tutti gli elementi dell'insieme
$$ -2 \le 1 \\ -2 \le 2 \\ -2 \le 4 \\ -2 \le -2 \\ -2 \le 6 \\ -2 \le -1 \\ -2 \le 3 $$
Unicità del valore minimo
Se un insieme ammette un valore minimo, il valore minimo è unico.
Pertanto, non possono coesistere due o più minimi all'interno dello stesso insieme.
Può però verificarsi il caso di un insieme senza minimo.
Nota. Merita d'essere ricordato che un insieme non può avere elementi duplicati al suo interno. Quindi, se esiste un elemento minimo, questo è unico.
Dimostrazione
Per assurdo ipotizzo che un insieme abbia due valori minimi
$$ m_1 \le a \:\: \forall a \in A $$
$$ m_2 \le a \:\: \forall a \in A $$
Essendo dei minimi, entrambi sono elementi dell'insieme A.
$$ m_1, m_2 \in A $$
Poiché ognuno dei due è minore uguale a tutti gli elementi dell'insieme, M1 e M2 sono in relazione d'ordine reciproca
$$ m_1 \le m_2 $$
$$ m_2 \le m_1 $$
Se unisco le due relazioni d'ordine ottengo una relazione di uguaglianza
$$ ( m_1 \le m_2 ) ∧ (m_2 \le m_1) \Leftrightarrow m_1=m_2 $$
Pertanto, i due minimi coincidono e hanno lo stesso valore m1 = m2.
Questo dimostra l'unicità del valore minimo di un insieme.
E così via.
