L'insieme vuoto
L'insieme vuoto è un insieme senza alcun elemento. Il simbolo dell'insieme vuoto è Ø.
Il simbolo dell'insieme vuoto, che è rappresentato come ∅, si legge "insieme vuoto" o semplicemente "vuoto". In inglese "empty set".
Un esempio pratico di insieme vuoto
L'insieme dei numeri naturali dispari divisibili per due è un insieme vuoto, perché nessun numero naturale dispari può essere diviso per due.
Esiste un solo insieme vuoto. L'insieme dei numeri naturali dispari divisibili per due è un insieme vuoto. Anche l'insieme dei triangoli con quattro lati è un insieme vuoto. In entrambi i casi si tratta dello stesso insieme vuoto anche se il criterio di appartenenza è diverso. $$ Ø = \{ \ \ \} $$
L'insieme vuoto è un sottoinsieme improprio
L'insieme vuoto è un sottoinsieme improprio di ogni insieme.
Dimostrazione
Per dimostrare l'ultima affermazione parto da una dimostrazione per assurdo.
Dato un insieme qualsiasi A, ipotizzo per assurdo che l'insieme vuoto non sia un sottoinsieme di A.
Quindi, dovrebbe esistere almeno un elemento dell'insieme vuoto che non appartiene a A.
Questo però è impossibile, perché l'insieme vuoto non ha elementi.
Una volta dimostrata la contraddizione di questa ipotesi, allora è vera l'ipotesi contraria, ossia l'insieme vuoto deve essere necessariamente un sottoinsieme di A.
Per questa ragione l'insieme vuoto è considerato un sottoinsieme improprio di qualsiasi altro insieme.
Dimostrazione alternativa. L'unione tra un generico insieme A e uno qualsiasi dei suoi sottoinsiemi B⊆A è sempre uguale all'insieme stesso. $$ A \cup B = A $$ Questo accade anche nell'unione tra l'insieme A e un insieme vuoto $$ A \cup Ø = A $$ Pertanto, anche l'insieme vuoto è un sottoinsieme di A.
