Multiinsieme

Un multiinsieme estende l'idea di un insieme ordinario permettendo la ripetizione degli elementi.

I multiinsiemi sono utilizzati per gestire quelle collezioni di oggetti dove la ripetizione è significativa.

Si distingue da un insieme tradizionale dove ogni elemento è unico e non si ripete.

Nota. I multiinsiemi sono particolarmente utili in combinatoria e teoria dei gruppi, dove spesso si devono contare configurazioni che includono ripetizioni.

Dal punto di vista formale un multiinsieme è rappresentato da una coppia $ M = (A, m) $, dove:

$ A $ è un insieme di elementi detto "insieme supporto".
$ m: A \rightarrow \mathbb{N} $ è una funzione detta "funzione molteplicità" che assegna a ogni elemento dell'insieme supporto un numero naturale positivo indicante quante volte quell'elemento appare nel multiinsieme. La funzione molteplicità, $ m $ determina la struttura del multiinsieme.
Nota. Nel caso particolare in cui $ m $ assume solamente il valore 1 per ogni elemento, allora il multiinsieme corrisponde esattamente al suo insieme supporto e si comporta come un insieme tradizionale.

La cardinalità di un multiinsieme è la somma delle molteplicità di tutti gli elementi e indica il numero totale di elementi nel multiinsieme, incluse le loro ripetizioni.

Quindi, posso rappresentare un multiinsieme anche come insieme di coppie ordinate

$$ M = \{ (x,m(x)): x \in A \} $$

Dove x è un elemento dell'insieme di supporto mentre m(x) è la cardinalità dell'elemento.

Un esempio pratico

Considero il multiinsieme degli elementi \{a, a, b, b, b, c \}

Posso descriverlo formalmente come $ M = (A, m) $, dove:

$ A = \{a, b, c\} $ è l'insieme di supporto
$ m(a) = 2 $, $ m(b) = 3 $, $ m(c) = 1 $ è la funzione di molteplicità

La cardinalità del multiinsieme M posso ottenerla sommando le cardinalità degli elementi

$$ |M| = m(a)+m(b)+m(c) = 2+3+1 = 6 $$

In effetti l'insieme A è composto da sei elementi.

In questo esempio, l'insieme delle coppie ordinate è il seguente:

$$ M = \{ (a,2), (b,3), (c,1) \} $$

Esempio 2

Considero il numero 360. La sua fattorizzazione in fattori primi è

$$ 360 = 2^3 \times 3^2 \times 5 $$

Posso rappresentare questa fattorizzazione come un multiinsieme dei fattori primi di 360 nel modo seguente:

$$ A = \{(2, 3), (3, 2), (5, 1)\} $$

La prima coppia ordinata dice che l'elemento $2$ è presente $3$ volte, la seconda coppia che $3$ è presente $2$ volte e, infine, la terza coppia che $5$ è presente $1$ volta.

Questa rappresentazione chiarisce esattamente come ogni numero primo contribuisce alla composizione fattoriale di 360, utilizzando il concetto di multiinsieme per catturare le molteplicità di ciascun fattore.

Esempio 3

Considero il polinomio:

$$ x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8 $$

Questo polinomio ha 2 radici ripetute tre volte e una radice che si presenta una volta.

Questo mi permette di scrivere questo polinomio in questa forma.

$$ (x-2)^3 \cdot (x-1) $$

Le radici del polinomio possono essere rappresentate come un elementi di multiinsieme:

$$ M = \ \{(2, 3), (1, 1)\} $$

In questo caso:

la prima coppia indica che la radice 2 appare 3 volte
la seconda coppia, invece, dice che la radice 1 appare 1 volta

In altre parole, gli elementi del multiinsieme rappresentano le radici multiple del polinomio.

E così via.