Le serie numeriche

Una serie numerica s_n è la somma dei primi n termini di una successione a_n. E' anche detta somma parziale o ridotta n-sima. $$ s_n = a_1+a_2+...+a_n $$ ossia $$ s_n = \sum_{k=1}^n a_k $$

La somma parziale s_k è un termine generale a_k della serie numerica.

Data una successione composta da n termini esistono n termini della serie numerica per ogni k=1...n.

$$ s_1, s_2, ... , s_n $$

Nota. La successione s_n delle somme parziali di una successione per n che tende a infinito (n→∞) è la serie numerica della successione.

Un esempio di serie

Prendo in considerazione la successione a_n

$$ a_n = 2n $$

I primi n termini della successione a_n sono

$$ 2, 4, 6, 8, 10, ... $$

La serie numerica s_n della successione è

$$ s_1 = 2 $$

$$ s_2 = 2+4 = 6 $$

$$ s_3 = 2+4+6 = 12 $$

$$ s_4 = 2+4+6+8 = 20 $$

$$ s_5 = 2+4+6+8+10=30 $$

Pertanto la serie numerica s_n delle somme parziali è

$$ s_1, s_2, s_3, s_4, s_5, .... s_n $$

$$ 2, 6, 12, 20, 30, .... s_n $$

Ecco la rappresentazione grafica sul diagramma cartesiano della serie numerica (rossa).

Qual è la differenza tra serie e successione? La successione è una sequenza di termini a_k. La serie è la sequenza delle somme parziali s_k di una successione numerica. Ad esempio, il termine della successione a₃=6. Il termine s₃ della serie è la somma parziale dei primi tre termini della successione a_n, ossia s₃=a₁+a₂+a₃=2+4+6=12.

La serie infinita

Si parla di serie infinita quando n=∞.

$$ \sum_{k=1}^∞ a_k $$

Le serie infinita è uguale al limite della serie s_n per n che tende a infinito.

$$ \lim_{n \rightarrow ∞} s_n $$

A cosa serve il limite della serie per infinito?

Il limite della serie determina il carattere della serie ossia la sua proprietà d'essere regolare (convergente, divergente) o non regolare.

Nota. La serie è detta serie regolare se è convergente o divergente. Se la serie non converge, né diverge è detta serie irregolare.

Il carattere della serie

Il carattere di una serie numerica è la proprietà della serie di essere convergente, divergente o indeterminata.

• Serie convergente. Se il limite della serie esiste ed è un numero finito. La successione delle somme parziali s_n per n→∞ ammette un limite finito S detto somma della serie. $$ \lim_{n \rightarrow ∞} s_n = S $$

  Nota. La somma della serie è uguale alla sommatoria dei termini della successione a_n da 1 a inf. $$ S = \sum_{k=1}^∞ a_n $$

• Serie divergente. Se il limite della serie per n→∞ esiste ed è più o meno infinito. $$ \lim_{n \rightarrow ∞} s_n = ±∞ $$
• Indeterminata. Se il limite della serie per n→∞ non esiste. E' il caso delle serie irregolari.

E così via.