La correlazione lineare nelle tabelle a doppia entrata

Per calcolare il coefficiente di correlazione lineare \( r \) tra due variabili in una tabella a doppia entrata

Y / X	y₁	y₂	...	yⱼ	...	Totale
x₁	f₁₁	f₁₂	...	f₁ⱼ	...	R₁
x₂	f₂₁	f₂₂	...	f₂ⱼ	...	R₂
...	...	...	...	...	...	...
xᵢ	fᵢ₁	fᵢ₂	...	fᵢⱼ	...	Rᵢ
...	...	...	...	...	...	...
Totale	C₁	C₂	...	Cⱼ	...	N

Seguo questo procedimento:

1. Calcolo le medie \( \bar{x} \) e \( \bar{y} \) delle variabili \( X \) e \( Y \) utilizzando le frequenze marginali.
2. Determino gli scarti di ciascun valore dalla media (\( x_i - \bar{x} \) e \( y_j - \bar{y} \)).
3. Moltiplico gli scarti di \( X \) e \( Y \) per le frequenze congiunte \( f_{ij} \) e sommo questi prodotti.
4. Calcolo i quadrati degli scarti ponderati per le frequenze marginali \( R_i \) e \( C_j \) di \( X \) e \( Y \), e sommo i risultati
5. Applico la formula di calcolo del coefficiente lineare $$ r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_j - \bar{y}) f_{ij}}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 R_i \cdot \sum (y_j - \bar{y})^2 C_j}} $$ dove la sommatoria doppia considera tutti i valori di \( i \) e \( j \) nelle righe e colonne. Questa formula fornisce \( r \), che indica l’intensità e la direzione della correlazione tra \( X \) e \( Y \).

Questo metodo mi permette di ottenere \( r \), un indicatore della correlazione lineare delle due variabili.

Un esempio pratico

Vediamo un esempio pratico per il calcolo del coefficiente di correlazione \( r \) con una tabella a doppia entrata.

Supponiamo di voler studiare la correlazione tra il numero di ore di studio (\( X \)) e il voto finale (\( Y \)) di un gruppo di studenti.

	\( Y = 6 \)	\( Y = 7 \)	\( Y = 8 \)	Totale (Ri)
\( X = 4 \)	3	2	1	6
\( X = 5 \)	1	3	1	5
\( X = 6 \)	1	1	2	4
Totale (Cj)	5	6	4	15

La tabella seguente riporta le frequenze congiunte degli studenti per ogni combinazione di ore di studio e voto:

Calcolo le medie marginali di \( X \) e \( Y \):

$$ \bar{x} = \frac{4 \times 6 + 5 \times 5 + 6 \times 4}{15} = \frac{24 + 25 + 24}{15} = \frac{73}{15} \approx 4.87 $$

$$ \bar{y} = \frac{6 \times 5 + 7 \times 6 + 8 \times 4}{15} = \frac{30 + 42 + 32}{15} = \frac{104}{15} \approx 6.93 $$

Poi calcolo gli scarti dalla media per ogni valore di \( X \) e \( Y \).

Gli scarti della variabile \( X \) sono:

• \( 4 - \bar{x} = 4 - 4.87 = -0.87 \)
• \( 5 - \bar{x} = 5 - 4.87 = 0.13 \)
• \( 6 - \bar{x} = 6 - 4.87 = 1.13 \)

Gli scarti della variabile \( Y \) sono:

• \( 6 - \bar{y} = 6 - 6.93 = -0.93 \)
• \( 7 - \bar{y} = 7 - 6.93 = 0.07 \)
• \( 8 - \bar{y} = 8 - 6.93 = 1.07 \)

Per facilitare la comprensione del procedimento, riporto gli scarti direttamente sopra le righe e accanto alle colonne della tabella.

Poi calcolo il prodotto degli scarti per ciascuna coppia (cella della tabella) e lo moltiplico per la frequenza congiunta \( f_{ij} \):

		\( y_j - \bar{y}  \)
		\( -0.93 \)	\( 0.07 \)	\( 1.07 \)
\( x_i - \bar{x}  \)	\( -0.87 \)	\( (-0.87)(-0.93) \times 3 \)	\( (-0.87)(0.07) \times 2 \)	\( (-0.87)(1.07) \times 1 \)
	\( 0.13 \)	\( (0.13)(-0.93) \times 1\)	\( (0.13)(0.07) \times 3 \)	\( (0.13)(1.07) \times 1 \)
	\( 1.13 \)	\( (1.13)(-0.93) \times 1\)	\( (1.13)(0.07) \times 1 \)	\( (1.13)(1.07) \times 2 \)

Ad esempio, nella prima cella in alto a sinistra la variabile \( X=4 \) ha uno scarto di \( 0.87 \) rispetto alla media \( \bar{x} \) mentre la variabile \( Y=6 \) ha uno scarto di \( - 0.93 \) rispetto alla media \( \bar{y} \). La frequenza congiunta di queste variabili è \( 3 \). Dove per frequenza congiunta intendo il numero degli studenti che ha studiato \( X=4 \) ore ottenendo un voto pari a \( Y=6 \). Il risultato finale è \(  2.43 \) $$ (-0.87)(-0.93) \times 3 = 2.43 $$

A questo punto, svolgo i calcoli in ciascuna cella della tabella e sommo i totali parziali per ciascuna riga.

		\( y_j - \bar{y}  \)
		\( -0.93 \)	\( 0.07 \)	\( 1.07 \)	\( (x_i - \bar{x})(y_j - \bar{y}) f_{ij} \)
\( x_i - \bar{x}  \)	\( -0.87 \)	2.43	-0.12	-0.93	1.38
	\( 0.13 \)	-0.12	0.03	0.14	0.05
	\( 1.13 \)	-1.05	0.08	2.42	1.45

Sommo i totali parziali dei prodotti di ciascuna riga:

$$  \sum (x_i - \bar{x})(y_j - \bar{y}) f_{ij} = 1.38 + 0.05 + 1.45 = 2.88 $$

Calcolo il quadrato degli scarti \( (x_i - \bar{x})^2 \) di ogni riga e lo moltiplico per le frequenze marginali \( R_i \) della riga stessa \( X \)

$$ \sum (x_i - \bar{x})^2 R_i = (-0.87)^2 \times 6 + (0.13)^2 \times 5 + (1.13)^2 \times 4  $$

$$ \sum (x_i - \bar{x})^2 R_i = 4.54 + 0.08 + 5.11 $$

$$ \sum (x_i - \bar{x})^2 R_i = 9.73 $$

		\( y_j - \bar{y}  \)
		\( -0.93 \)	\( 0.07 \)	\( 1.07 \)	\( (x_i - \bar{x})(y_j - \bar{y}) f_{ij} \)	\( (x_i - \bar{x})^2 R_i \)
\( x_i - \bar{x}  \)	\( -0.87 \)	2.43	-0.12	-0.93	1.38	4.54
	\( 0.13 \)	-0.12	0.03	0.14	0.05	0.08
	\( 1.13 \)	-1.05	0.08	2.42	1.45	5.11

Calcolo il quadrato degli scarti \( y_i - \bar{y})^2 \) di ogni colonna e lo moltiplico per le frequenze marginali \( C_j \) della colonna stessa \( X \)

$$ \sum (y_j - \bar{y})^2 C_j = (-0.93)^2 \times 5 + (0.07)^2 \times 6 + (1.07)^2 \times 4  $$

$$ \sum (y_j - \bar{y})^2 C_j = 4.32 + 0.03 + 4.58 $$

$$ \sum (y_j - \bar{y})^2 C_j = 8.93  $$

		\( y_j - \bar{y}  \)
		\( -0.93 \)	\( 0.07 \)	\( 1.07 \)	\( (x_i - \bar{x})(y_j - \bar{y}) f_{ij} \)	\( (x_i - \bar{x})^2 R_i \)
\( x_i - \bar{x}  \)	\( -0.87 \)	2.43	-0.12	-0.93	1.38	4.54
	\( 0.13 \)	-0.12	0.03	0.14	0.05	0.08
	\( 1.13 \)	-1.05	0.08	2.42	1.45	5.11
\( (y_i - \bar{y})^2 C_i \)		4.32	0.03	4.58

Infine, applico la formula:

$$ r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_j - \bar{y}) f_{ij}}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2 R_i \cdot \sum (y_j - \bar{y})^2 C_j}} $$

$$ r = \frac{2.88}{\sqrt{9.73 \cdot 8.93}} = \frac{2.88}{9.33} \approx 0.31 $$

Il coefficiente di correlazione \( r \approx 0.31 \) indica una correlazione positiva moderata tra le ore di studio e il voto finale.

E così via.