Le proprietà delle applicazioni lineari
Proprietà 1
Un'applicazione lineare è univocamente determinata dai valori che assume in corrispondenza degli elementi di una base.
Dimostrazione
Prendiamo due spazi vettoriali non banali V e W su un campo K.
Consideriamo la base BV dello spazio vettoriale V e l'applicazione lineare f:V->W
$$ f:V \rightarrow W $$
Per ogni v di V esiste una combinazione lineare con k scalari di K
$$ v = a_1 v_1 + ... + a_k v_k \:\:\:\: v_{(1,...,k)} \in B_v , a \in K $$
Secondo la proprietà della linearità delle funzioni.
$$ f(v) = a_1 f(v_1) + ... + a_k f(v_k) $$
Pertanto, per conoscere il valore dell'applicazione lineare f in qualsiasi elemento v di V, basta calcolare il valore di f in ogni elemento della base Bv.
Proprietà 2
La composizione di due applicazioni lineari è a sua volta un'applicazione lineare.
Dimostrazione
Prendo in considerazione tre spazi vettoriali U, V, Z su un campo K e due applicazioni lineari
$$ f:U\rightarrow V $$ $$ g:V \rightarrow W $$
Devo dimostrare che anche la funzione composta h:U->W è lineare
$$ f:U\rightarrow W $$
Verifico se h rispetta le due proprietà delle applicazioni lineari
Prima proprietà ( funzione additiva )
$$ h(u_1+u_2)=h(u_1)+h(u_2) $$
dove u1 e u2 sono due generici vettori di U.
$$ h(u1+u2) = g(f(u1+u2)) $$ $$ h(u1+u2) = g(f(u_1)+f(u_2)) $$ $$ h(u1+u2) = g(f(u_1))+g(f(u_2))) $$ $$ h(u1+u2) = h(u_1)+h(u_2) $$
La proprietà additiva delle applicazioni lineari è soddisfatta.
Seconda proprietà ( funzione omogenea di 1° grado )
$$ h(a·u) = a·h(u) $$
dove u è un generico vettore di U e a è uno scalare di K.
$$ h(a·u) = g(f(a·u)) $$ $$ h(a·u) = g(a· f(u)) $$ $$ h(a·u) = a·g(f(u)) $$ $$ h(a·u) = a·h(u) $$
Anche la seconda proprietà è soddisfatta.
Ho così dimostrato che la funzione composta di f e g è un'applicazione lineare.
Proprietà 3
Se un'applicazione lineare è invertibile, allora l'inversa è ancora un'applicazione lineare.
Dimostrazione
Prendo in considerazione due spazi vettoriali V e W su un campo K e un'applicazione lineare invertibile f.
$$ f:V \rightarrow W $$
Essendo un'applicazione lineare invertibile, posso scrivere anche la funzione inversa di f.
Devo dimostrare che anche la funzione inversa f-1 è lineare.
$$ f^-1:W \rightarrow V $$
Prima proprietà ( funzione additiva )
Prendo due vettori generici w1, w2 di W.
$$ w_1 \in W \\ w_2 \in W $$
Poiché la funzione f è biiettiva, esistono due vettori v1, v2 di V tali che
$$ f(v_1) = w_1 \\ f(v_2) = w_2 $$ $$ f^{-1}(w_1) = v_1 \\ f^{-1}(w_2) = v_2 $$
Cosa significa funzione biettiva? Vuol dire che per ogni elemento dell'insieme Y c'è uno e un solo elemento dell'insieme X tale che f(x)=y.
La somma delle due funzioni inverse è la seguente:
$$ f^{-1}(w_1)+f^{-1}(w_2) = v_1 + v_2 $$
Per la linearità di f si ha
$$ f(v_1+v_2) = w_1 + w_2 $$
Quindi, essendo biettiva vale anche
$$ f^{-1}(w_1+w_2) = v_1 + v_2 $$
Ho dimostrato che la funzione inversa f-1 è una funzione additiva.
La prima proprietà è soddisfatta.
Seconda proprietà ( funzione omogenea di 1° grado )
Prendo in considerazione un generico vettore w di W e uno scalare a di K.
Poiché la funzione è biettiva
$$ f(v) = w \\ f^{-1}(w)=v $$
Inoltre, secondo la linearità della funzione:
$$ f(a·v)= a·f(v) $$
Quindi
$$ f^{-1}(a·v)= a·v $$ $$ a·f^{-1}(v)= a·v $$
Anche la seconda proprietà è soddisfatta.
Ho così dimostrato la linearità della funzione inversa.
