Le proprietà delle matrici rappresentative
In algebra lineare la rappresentazione di un'applicazione lineare sotto forma di matrice è consentita da due proprietà degli spazi vettoriali e delle applicazioni lineari.
Proprietà 1
Nel campo K ogni spazio vettoriale V di dimensione finita pari a n è isomorfo a Kn
Per isomorfo si intende che lo spazio vettoriale ha la stessa struttura algebrica di Kn.
Vedi dimostrazione.
Proprietà 2
Lo spazio vettoriale HomK(Kn,Km) delle applicazioni lineari da Kn a Km è isomorfo allo spazio vettoriale Mm,n(K) delle matrici m x n con elementi in K.
Vedi dimostrazione
Queste due proprietà rendono possibile trasformare un'applicazione lineare tra spazi vettoriali in una matrice.
Proprietà 3
Il prodotto delle matrici rappresentative di due applicazioni lineari g e f è uguale alla matrice rappresentativa della funzione composta g(f). $$ A_g · A_f = A_{gof} $$
Vedi dimostrazione
Proprietà 4
Un'applicazione lineare f è invertibile f-1 se e solo se la matrice rappresentativa Af è invertibile A-1f. $$ se \:\:\: A_f \rightarrow A^{-1}_f \:\:\: allora \:\:\: f \rightarrow f^{-1} $$
Proprietà 5
La matrice rappresentativa della funzione inversa Af-1 è uguale alla matrice inversa A-1f della matrice rappresentativa dell'applicazione lineare f. $$ A_{f-1} = A^{-1}_{f} $$
Vedi dimostrazione
Proprietà 6
Il prodotto della matrice rappresentativa Af,Bv,Bw con le coordinate CBv del vettore sulla base Bw determina le coordinate CBw del vettore immagine f(v)=w. $$ A_{f,Bv,Bw} \cdot C_{Bv} = C_{Bw} $$
