La matrice associata a un'applicazione lineare
Ogni applicazione lineare tra spazi vettoriali di dimensione finita pari a n, può essere rappresentata sotto forma di matrice.
A cosa serve trasformare un'applicazione lineare in matrice? E' senza dubbio più facile studiare le applicazioni lineari tramite le matrici rispetto alle funzioni.
La matrice rappresentativa
Dati due spazi vettoriali V e W di dimensioni finite nel campo K, due basi Bv e Bw e un'applicazione lineare f
$$ V, W \in K^n $$ $$ B_v = \{ v_1 , ... , v_n \} $$ $$ B_w = \{ w_1 , ... , w_m \} $$ $$ f: V \rightarrow W $$
l'applicazione lineare è associata a una matrice rappresentativa
$$ A_{f, B_v, B_w} $$
La matrice rappresentativa è unica per le basi selezionati.
Nota. Ciò vuol dire che selezionando altre basi, la matrice rappresentativa cambia. Per questa ragione è opportuno indicare le basi scelte nel simbolo della matrice.
Dimostrazione
Dato un elemento di v di V con le seguenti coordinate (x1,...,xn):
$$ v = x_1 v_1 , ... , x_n v_n \:\:con\:\: B_v $$
Secondo l'applicazione lineare esiste anche una f(v) con coordinate (y1,...,yn) nello spazio vettoriale W.
$$ f(v) \in W: $$
$$ f(v) = y_1 w_1 , ... , y_n w_n \:\:con\:\: B_w $$
Per semplicità espositiva la ribalto
$$ y_1 w_1 , ... , y_n w_n = f(v) \:\:con\:\: B_w $$
Poi riscrivo il vettore v in f come combinazione lineare.
$$ y_1 w_1 , ... , y_n w_n = f(x_1 v_1 + ... + x_n v_n) $$
$$ y_1 w_1 , ... , y_n w_n = x_1 f(v_1) + , ... , + x_n f(v_n) $$
poiché
$$ v_1 = a_{1,1} w_1 + ... + a_{m,1} w_m \\ ... \\ $v_n = a_{1,n} w_1 + ... + a_{m,n} w_m $$
allora
$$ y_1 w_1 , ... , y_n w_n = x_1 ( a_{1,1} w_1 + ... + a_{m,1} w_m) + , ... , + x_n ( a_{1,n} w_1 + ... + a_{m,n} w_m) $$
$$ y_1 w_1 , ... , y_n w_n = w_1 ( x_1 a_{1,1} + ... + x_n a_{1,n} ) + ... + w_m ( x_1 a_{m,1} + ... + x_n a_{m,n} ) $$
che diventa un sistema
$$ \begin{cases} y_1 = x_1 a_{1,1} & + ... + & x_n a_{1,n} \\ y_2 = x_1 a_{2,1} & + ... + & x_n a_{2,n} \\ ... \\ y_m = x_1 a_{m,1} & + ... + & x_n a_{m,n} \end{cases} $$
a questo punto basta trasformare il sistema in una matrice
$$ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ : \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,1} & ... & a_{1,n} \\ a_{2,1} & ... & a_{2,n} \\ : & : & : \\ a_{m,n} & ... & a_{m,n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ : \\ x_n \end{pmatrix} $$
Ho così ottenuto la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare f:V→W.
Come calcolare la matrice rappresentativa
Per spiegare il calcolo della matrice rappresentativa preferisco partire da un esempio pratico.
Esempio
Ho un'applicazione lineare f tra due spazi vettoriali nel campo K=R.
$$ V = R^3 \\ W = R^2 $$
L'applicazione lineare f è la seguente:
$$ f:V \rightarrow W = \begin{pmatrix} x-y+2 \\ 3x-2y-z \end{pmatrix} $$
La matrice rappresentativa è composta da m x n righe per colonne.
- m (righe) è la dimensione dello spazio vettoriale W
- n (colonne) è la dimensione dello spazio vettoriale V
In questo caso
$$ dim(V)=3 \\ dim(W)=2 $$
Quindi la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare è mxn = 2x3 ossia 2 righe e 3 colonne.
$$ A_{fB_vBw} = \begin{pmatrix} ? & ? & ? \\ ? & ? & ? \end{pmatrix} $$
Per trovare gli elementi della matrice rappresentativa prendo come riferimento le due basi canoniche degli spazi vettoriali.
$$ B_v = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
$$ B_w = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Ora calcolo le immagini degli elementi della base BV nell'applicazione lineare
$$ f \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y+2 \\ 3x-2y-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} $$
$$ f \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y+2 \\ 3x-2y-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} $$
$$ f \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x-y+2 \\ 3x-2y-z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} $$
Se non avessi usato le basi canoniche degli spazi vettoriali, ora avrei dovuto calcolare le coordinate rispetto alla base BW per avere le colonne della matrice rappresentativa.
In questo caso non è necessario perché quando si usano le basi canoniche le immagini degli elementi della base BV nell'applicazione lineare coincidono con le coordinate rispetto alla base Bw.
Nota. Per completezza svolgo anche questi calcoli. La prima colonna della matrice rappresentativa. $$ \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \end{pmatrix} = a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1=3 \\ a_2=3 \end{pmatrix} $$ La seconda colonna della matrice rappresentativa. $$ \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix} = a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1=1 \\ a_2=-2 \end{pmatrix} $$ La terza colonna della matrice rappresentativa. $$ \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix} = a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1=2 \\ a_2=-1 \end{pmatrix} $$ Sono gli stessi dati che già conosco.
Quindi, la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare f:V→W è la seguente:
$$ A_{fB_vBw} = \begin{pmatrix} 3 & 1 & 2 \\ 3 & -2 & -1 \end{pmatrix} $$
E così via.
