Applicazioni lineari inverse
Come calcolare l'applicazione lineare inversa in algebra lineare. La spiegazione e il processo di calcolo.
Cos'è l'applicazione lineare inversa
Dati due spazi vettoriali V e W e un'applicazione lineare invertibile F.
$$ F:V \rightarrow W $$
allora l'applicazione inversa rispetto a F è
$$ S:W \rightarrow V $$
tale che
$$ S o F = Idv \wedge F o S = Idw $$
Come trovare l'applicazione inversa
Per trovare l'applicazione inversa di F, devo trovare un'applicazione lineare S che soddisfa la proprietà.
$$ S o F = Idv \wedge F o S = Idw $$
Come fare?
Secondo una proprietà delle applicazioni lineari, se un'applicazione lineare F è invertibile, allora la matrice Af associata a F è in relazione con la matrice As dell'applicazione inversa F-1 e con la matrice identità I.
$$ A_f \cdot A_s = I \\ A_s \cdot A_f = I $$
Cos'è la matrice identità? E' una matrice quadrata con gli elementi della diagonale uguali a 1 e tutti gli altri uguali a zero. $$ I = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
E' quindi sufficiente calcolare la matrice inversa di Af.
Poi trasformare la matrice inversa nell'applicazione lineare S.
Come capire se una matrice inversa è invertibile? Una matrice è invertibile se ha un determinante diverso da zero. $$ det(Af) \ne 0 $$.
Un esempio pratico
In questo esercizio ho due spazi vettoriali a due dimensioni nel campo K=R.
$$ V = R^2 \\ W = R^2 $$
I due spazi vettoriali sono in relazione tra loro tramite un'applicazione lineare f.
$$ f \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2x_1 - x_2 \\ x_1 + x_2 \end{pmatrix} $$
La matrice rappresentativa dell'applicazione lineare rispetto alle basi canoniche Bv e Bw è la seguente:
$$ A_{f,Bv,Bw} = \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} $$
La matrice Af è invertibile perché ha un determinante diverso da zero
$$ det(A_{f,Bv,Bw}) = 3 $$
Quindi, calcolo la matrice inversa di Af.
$$ A^{-1}_{f,Bv,Bw} = \begin{pmatrix} 1/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 \end{pmatrix} $$
Ho così ottenuto la matrice rappresentativa dell'applicazione lineare inversa f-1.
Per ottenere l'applicazione lineare inversa, moltiplico la matrice Af-1 per le incognite del sistema.
$$ f^-1 \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 & -1/3 \\ -1/3 & 2/3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/3 x_1 & -1/3 x_2 \\ -1/3 x_1 & 2/3 x_2 \end{pmatrix} $$
Ho così calcolato l'applicazione lineare inversa f-1 ossia la controimmagine dell'applicazione lineare.
