La scomposizione in fattori primi

Cos'è la scomposizione in fattori primi

Ogni numero intero non primo può essere scomposto in un prodotto di numeri primi.

Ad esempio, il numero 40 non è un numero primo.

La scomposizione in numeri primi del numero 40 è

$$ 40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5 $$

Nota. Se un numero diverso da zero e da uno non può essere scomposto in fattori primi, allora non ha altri divisori oltre uno e se stesso. Quindi è un numero primo. Ad esempio, il numero 7 è divisibile per 1 e per 7. $$ 7 = 7 \cdot 1 $$ Pertanto, il numero 7 è un numero primo.

Come scomporre un numero in fattori primi

Per fare la scomposizione in fattori primi di un numero lo divido progressivamente per i numeri primi divisori a partire dai più bassi (2,3,5,...).

$$ 2 \ , \ 3 \ , \ 5 \ , \ 7 \ , \ 11 \ , \ 13 \ , ... $$

Se l'ultima cifra del numero è zero, posso immediatamente dividerlo per 2·5.

Esempio

Scompongo in fattori primi il numero 48

Scrivo il numero 48 in colonna

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 48 & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} $$

Il numero 48 è un numero pari. Quindi, è divisibile per 2

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 48 & 2 \\ 24& \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} $$

Il numero 24 è ancora un numero pari. Quindi, è divisibile per 2

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & \\ & \\ & \\ & \end{array} $$

Il numero 12 è ancora un numero pari. Quindi, è divisibile per 2

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & \\ & \\ & \end{array} $$

Il numero 6 è ancora un numero pari. Quindi, è divisibile per 2

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & \\ & \end{array} $$

Il numero 3 non è divisibile per 2. E' divisibile per 3.

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 48 & 2 \\ 24 & 2 \\ 12 & 2 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \end{array} $$

Il processo termina qui perché il quoziente è uguale a 1.

Pertanto, la scomposizione in numeri primi del numero 48 è

$$ 48 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3 $$

Esempio 2

Scompongo in fattori primi il numero 60

Scrivo il numero 60 in colonna

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 60 & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} $$

L'ultima cifra del numero 60 è zero. Quindi, è divisibile per 2·5

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 60 & 2 \cdot 5 \\ 6 & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} $$

Il numero 6 è divisibile per 2

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 60 & 2 \cdot 5 \\ 6 & 2 \\ 3 & \\ & \\ & \\ & \end{array} $$

Il numero 3 è divisibile per 3

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 60 & 2 \cdot 5 \\ 6 & 2 \\ 3 & 3 \\ 1 & \\ & \\ & \end{array} $$

Il processo termina qui perché il quoziente è uguale a 1.

Pertanto, la scomposizione in numeri primi del numero 60 è

$$ 60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 $$

Esempio 3

Scompongo in fattori primi il numero 28

Scrivo il numero 28 in colonna

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 28 & \\ & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} $$

Il numero 28 è pari, quindi è divisibile per 2.

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 28 & 2 \\ 14 & \\ & \\ & \\ & \\ & \end{array} $$

Anche il numero 14 è pari, quindi è divisibile per 2.

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 28 & 2 \\ 14 & 2 \\ 7 & \\ & \\ & \\ & \end{array} $$

Il numero 7 non è divisibile per 2.

Il numero 7 non è divisibile per 3.

Il numero 7 non è divisibile per 5.

Il numero 7 è divisibile per 7.

$$ \begin{array}{c|c} b & d \\ \hline 28 & 2 \\ 14 & 2 \\ 7 & 7 \\ 1 & \\ & \\ & \end{array} $$

Il processo termina qui perché il quoziente è uguale a 1.

Pertanto, la scomposizione in numeri primi del numero 28 è

$$ 28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7 $$

E così via.