Esercizio studio del limite 27

Devo studiare il limite

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2} \]

Questo limite somiglia al limite notevole \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(x)}{x^2} = \frac{1}{2}  \)

Per ricondurlo a questa forma introduco una variabile temporanea $ u = 3x $

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{x^2} \]

Quando $ x \to 0 $ va a zero, anche $ u \to 0 $, quindi cambio anche la variabile del limite.

\[ \lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{x^2} \]

Sapendo che $ u=3x $ allora $ x = \frac{u}{3} $, quindi sostituisco anche la variabile $ x $ al denominatore.

\[ \lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{ (\frac{u}{3}) ^2} \]

\[ \lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{ \frac{u^2}{9}} \]

\[ \lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{u^2} \cdot 9 \]

Faccio uscire la costante 9 dal limite.

\[ 9 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{u^2}  \]

A questo punto posso applicare il limite notevole \( \lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{u^2} = \frac{1}{2} \)

\[ 9 \cdot \lim_{u \to 0} \frac{1 - \cos(u)}{u^2} = 9 \cdot \frac{1}{2} = \frac{9}{2}  \]

Quindi, il risultato del limite è il seguente:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x^2} = \frac{9}{2} \]

E così via.