Esercizio studio del limite 25

Devo risolvere il limite

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \]

Questo limite somiglia molto al limite notevole

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(x)}{x} = 1 \]

Avevo già visto questo limite almeno cinque volte. In teoria lo conoscevo a memoria:

Eppure ogni volta che lo incontravo in mezzo ad altri passaggi, lo saltavo o sbagliavo. Perché? Perché non lo vedevo. Non lo riconoscevo mascherato in un'altra espressione.

Inoltre, spesso ci si dimentica che il limite notevole può essere esteso al caso generale \[ \sin(kx)/kx \to 1\] solo se al denominatore c’è lo stesso argomento che sta dentro il seno.

Quindi, per risolvere questo esercizio mi basta riscrivere l'espressione in una forma equivalente.

Ad esempio, divido e moltiplico per tre.

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \]

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \frac{3}{3} \]

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot 3 \]

\[ 3 \cdot  \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x}  \]

Ora il limite notevole è ben evidente \( \sin(kx)/kx \to 1 \) dove \( k=3 \).

\[ 3 \cdot  \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{3x}  = 3 \cdot  1  \]

Pertanto, la soluzione è

\[ \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3 \]

In conclusione, non basta sapere che il limite notevole è \( \sin(x)/x \to 1 \), bisogna anche riconoscerlo anche quando è camuffato.

Il trucco è di portare sempre il denominatore a somigliare all’argomento del seno, o viceversa.

E così via.