Gli esponenziali
L'esponenziale è la generalizzazione dell'elevamento a potenza con esponente reale $$ a^x $$ dove a>0 è un numero reale positivo mentre x è un numero reale qualsiasi
Il numero reale ax è detto potenza con esponente reale di base a ed esponente x oppure semplicemente esponenziale.
L'esponente x è un numero reale.
Quindi, può essere sia un numero razionale
$$ a^{\frac{n}{m}} $$
che un numero irrazionale
$$ a^{\sqrt[m]{n}} $$
L'esponente è un numero reale qualsiasi mentre la base è un numero reale positivo.
Perchè la base degli esponenziali è un numero positivo?
La base dell'esponenziale (a) non può essere un numero negativo perché ci si troverebbe in una situazione indefinita.
Ad esempio, se la base è negativa a=-1
$$ (-1)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{-1} $$
La radice dei numeri negativi non è definita nei numeri reali.
Nota. La radice dei numeri negativi è definita solo con i numeri complessi, ossia con un insieme numerico più grande dei numeri reali.
Allo stesso modo la base dell'esponenziale non può essere nulla perché anche la radice di zero è indefinita
$$ 0^{\frac{1}{2}} = \sqrt{0} $$
in quanto qualsiasi numero reale moltiplicato per zero è uguale a zero.
Le proprietà degli esponenziali
Alcune proprietà degli esponenziali
- Prodotto di esponenziali con la stessa base
Il prodotto di due o più esponenziali con la stessa base è un esponenziale con la stessa base che ha per esponente la somma degli esponenti $$ a^c \cdot a^d = a^{c+d}$$ - Quoziente di esponenziali con la stessa base
Il quoziente di due esponenziali con la stessa base è un esponenziale con la stessa base che ha per esponente la differenza degli esponenti $$ \frac{a^c}{a^d} = a^{c-d}$$ - Prodotto di esponenziali con lo stesso esponente
Il prodotto di due o più esponenziali con lo stesso esponente è un'esponenziale con lo stesso esponente che ha per base il prodotto delle basi. $$ a^c \cdot b^c = (a \cdot b)^c $$ - Quoziente di esponenziali con lo stesso esponente
Il quoziente di due esponenziali con lo stesso esponente è un'esponenziale con lo stesso esponente che ha per base il quoziente delle basi. $$ \frac{a^c}{b^c} = (\frac{a}{b})^c $$
Altre proprietà utili
- L'esponenziale è sempre un numero positivo $$ a^x > 0 $$
- L'esponenziale è l'operazione inversa del logaritmo
- L'esponenziale con esponente pari a uno è uguale alla base. $$ a^1 = a $$
- Per convenzione l'esponenziale con esponente zero è uguale a 1 $$ a^0 = 1 $$
- Se due esponenziali ac e bc hanno lo stesso esponente positivo (c>0) gli esponenziali sono ordinati come le loro basi $$ se \ a > b \ \ \ allora \ \ a^c > b^c $$
Esempio $$ 5^{2} > 2^{2} $$ $$ 25 > 4 $$
- Se due esponenziali ac e bc hanno lo stesso esponente negativo (c<0) gli esponenziali sono ordinati in modo opposto rispetto alle loro basi $$ se \ a > b \ \ \ allora \ \ a^c < b^c $$
Esempio $$ 5^{-2} < 2^{-2} $$ $$ \frac{1}{5^2} < \frac{1}{2^2} $$ $$ \frac{1}{25} < \frac{1}{4} $$
- Se la base a>1 è maggiore di uno allora l'esponenziale ax è una funzione crescente al crescere dell'esponente x
- Se la base 0<a<1 è compresa tra zero e uno allora l'esponenziale ax è una funzione decrescente al crescere dell'esponente x
E così via.
