Prodotto di potenze con lo stesso esponente

Quando si moltiplicano due potenze che hanno lo stesso esponente, il risultato è una potenza che ha per base il prodotto delle basi e mantiene lo stesso esponente. La formula generale è: $$ a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n $$

Il prodotto di potenze con lo stesso esponente è un'operazione che mi permette di semplificare le espressioni matematiche, quando due potenze condividono lo stesso esponente anche se hanno basi diverse.

Esempio

Considero due potenze con lo stesso esponente:

$$ 5^2 \cdot 3^2 $$

Applico la regola: \( a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n \)

$$ 5^2 \cdot 3^2 = (5 \cdot 3)^2 $$

Calcolo il prodotto delle basi:

$$ 5^2 \cdot 3^2 = (5 \cdot 3)^2 = (15)^2 $$

Elevo il risultato al quadrato:

$$ 5^2 \cdot 3^2 = (5 \cdot 3)^2 = (15)^2 = 225 $$

In questo modo ho ottenuto il risultato finale senza dover calcolare le potenze dei singoli fattori.

$$ 5^2 \cdot 3^2 = 225 $$

Nota. E' lo stesso risultato che avrei ottenuto calcolando le potenze dei singoli fattori $$ 5^2 \cdot 3^2 = 25 \cdot 9 = 225 $$

E così via.