Le potenze con esponente intero

La potenza ennesima di un numero reale k è il prodotto del numero k per se stesso per n volte $$ k^n = \underbrace{k \cdot \ k \cdot k \cdot ... \cdot k}_{n \ volte} $$ Il numero reale a è detto base mentre il numero intero n è detto esponente della potenza.

Ad esempio, la potenza 43 è il prodotto del numero 4 per se stesso per 3 volte. Si legge "quattro alla terza".

$$ 4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 64 $$

Per evitare di scrivere più volte il quattro come fattore si scrive 43.

Una potenza con esponente intero è definita per ogni numero reale k se l'esponente è un numero positivo n>0.

Se l'esponente è positivo k>0 la potenza kn è il prodotto di n fattori uguali alla base (k). $$ k^n = \underbrace{k \cdot \ k \cdot k \cdot ... \cdot k}_{n \ volte} $$

La potenza non è definita quando la base e l'esponente sono nulli (00) perché questa operazione non ha significato.

Nota. Se l'esponente è n=2 si parla di quadrato perché la potenza k2 coincide con l'area di un quadrato con la lunghezza di un lato pari a k. Se l'esponente è n=3 si parla di cubo perché la potenza k3 coincide con l'area di un cubo con la lunghezza di un lato pari a k.

Se l'esponente n è uguale a uno k1, la potenza è sempre uguale alla base stessa k

$$ k^1 = k $$

Ad esempio la potenza 41 è uguale a 4 e via dicendo

$$ 1^1=1 \\ 2^1=2 \\ 3^1=3 \\ 4^1=4 \\ 5^1=5 \\ \vdots $$

Per convenzione una potenza con esponente nullo k0 è sempre uguale a 1 per ogni base diversa da zero (k≠0).

$$ k^0 = 1 \ \ \ \ \forall \ k \ne 0 $$

Ad esempio

$$ 1^0=1 \\ 2^0=1 \\ 3^0=1 \\ 4^0=1 \\ 5^0=1 \\ \vdots $$

In una pagina a parte ho scritto un esempio che aiuta a capire perché un numero elevato a zero è uguale a uno.

Nota. La potenza 00 di zero con esponente zero non ha significato. E' indefinita.

Se l'esponente è un numero intero negativo k-n, la potenza è il reciproco del prodotto 1/kn

Ad esempio, la potenza di 4-3 è il reciproco di 43

$$ 4^{-3} = \frac{1}{4^3} = \frac{1}{4 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{1}{64}$$

    Osservazioni utili

    Qualche osservazione utile sulle potenze con esponente intero

    • Se la base è positiva k>0 anche la potenza kn>0 è sempre positiva
    • Se la base è positiva k>1 e maggiore di uno allora le potenze kn sono crescenti al crescere dell'esponente n
      un esempio di potenza con base positiva
    • Se la base è positiva 0<k<1 e minore di uno allora le potenze kn sono decrescenti al crescere dell'esponente n
      esempio di potenza con base positiva minore di 1
    • Se la base è positiva k=1 e uguale a uno, anche la potenza kn=1 è uguale a uno per qualsiasi esponente n.
      un esempio di potenza con base 1
    • Se la base è negativa k<0 le potenze kn sono positive se l'esponente n è pari, sono negative se l'esponente n è dispari. Quindi, le potenze successive kn hanno segno alternato. Ad esempio $$ (-2)^1 = -2 \\ (-2)^2 = +4 \\ (-2)^3 = -8 \\ (-2)^4 = +16 \\ (-2)^5 = -32 \\ \vdots $$

      Nota. Le potenze con base negativa hanno valori assoluti |kn| crescenti al crescere dell'esponente n se il valore assoluto della base |k|>1 è maggiore di uno. Ad esempio $$ |(-2)^1| = |-2|=2 \\ |(-2)^2| = |4|=4 \\ |(-2)^3| = |-8| = 8 \\ |(-2)^4| = |16| = 16 \\ |(-2)^5| = |-32|=32 \\ \vdots $$ Hanno valori assoluti |kn| decrecenti, invece, se il valore assoluto della base 0<|k|<1 è compreso tra 0 e 1. $$ |(- \frac{1}{2})^1| = |-\frac{1}{2}|=\frac{1}{2} \\ |(-\frac{1}{2})^2| = |\frac{1}{4}|=\frac{1}{4} \\ |(-\frac{1}{2})^3| = |-\frac{1}{8}| = \frac{1}{8} \\ |(-\frac{1}{2})^4| = |\frac{1}{16}| = \frac{1}{16} \\ |(-\frac{1}{2})^5| = |-\frac{1}{32}|=\frac{1}{32} \\ \vdots $$

    E così via.

     


     

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