Potenze con esponente negativo
La potenza di un numero intero diverso da zero con esponente intero negativo è uguale al reciproco della base elevata all'opposto dell'esponente. $$ b^{-n} = \frac{1}{b^n} $$
Per spiegare questo passaggio algebrico basta considerare la divisione tra due potenze di uguale base.
Ad esempio, la divisione tra 23 : 25 posso riscriverla sotto forma di frazione
$$ 2^3:2^5 = \frac{2^3}{2^5} $$
Applicando le proprietà delle potenze so già che la divisione tra due potenze con la stessa base è un numero con la stessa base elevata alla differenza degli esponenti
$$ \frac{2^3}{2^5} = 2^{3-5} = 2^{-2} $$
Questo accade perché una potenza è una moltiplicazione ripetuta della base per se stessa tante volte quanto l'esponente.
$$ \frac{2^3}{2^5} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 }{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2} $$
Dopo aver semplificato la frazione in una frazione equivalente ottengo lo stesso risultato
$$ \frac{2^3}{2^5} = \frac{\require{cancel} \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot \cancel{2} \cdot 2 \cdot 2} = \frac{1}{2 \cdot 2} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$$
Pertanto, la potenza di un numero elevato a un esponente intero negativo è uguale al reciproco del numero elevato all'esponente opposto.
La potenza con esponente negativo dei numeri razionali
Nel caso dei numeri razionali vale lo stesso discorso
La potenza di un numero razionale diverso da zero con esponente intero negativo è uguale al reciproco del numero razionale elevato all'opposto dell'esponente $$ (\frac{a}{d})^{-n} = \frac{1}{(\frac{a}{d})^n} = (\frac{d}{a})^n $$
Anche in questo caso la regola si può spiegare facilmente con un esempio.
Considero la divisione (2/3)3 : (2/3)5 tra due numeri razionali che hanno lo stessa base in cui il divisore ha un esponente maggiore rispetto al dividendo
$$ (\frac{2}{3})^3 : (\frac{2}{3})^5 $$
Riscrivo la divisione sotto forma di frazione
$$ (\frac{2}{3})^3 : (\frac{2}{3})^5 = \frac{(\frac{2}{3})^3}{(\frac{2}{3})^5} $$
Per la proprietà delle potenze la divisione tra due potenze con la stessa base è una potenza di eguale base che ha per esponente la differenza degli esponenti
$$ (\frac{2}{3})^3 : (\frac{2}{3})^5 = \frac{(\frac{2}{3})^3}{(\frac{2}{3})^5} = (\frac{2}{3})^{3-5} = (\frac{2}{3})^{-2} $$
Questo si spiega perché la potenza è una stessa base moltiplicata per se stessa tante volte quanto l'esponente
$$ (\frac{2}{3})^3 : (\frac{2}{3})^5 = \frac{(\frac{2}{3})^3}{(\frac{2}{3})^5} = \frac{ \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} }{ \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} } $$
A questo punto procedo con la semplificazione della frazione in una frazione equivalente.
Dopo aver semplificato la frazione ottengo lo stesso risultato
$$ (\frac{2}{3})^3 : (\frac{2}{3})^5 = \frac{(\frac{2}{3})^3}{(\frac{2}{3})^5} = \frac{ \require{cancel} \cancel{ \frac{2}{3} } \cdot \cancel{ \frac{2}{3} } \cdot \cancel{ \frac{2}{3} } }{ \cancel{ \frac{2}{3} } \cdot \cancel{ \frac{2}{3} } \cdot \cancel{ \frac{2}{3} } \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} } = \frac{1}{ \frac{2}{3} \cdot \frac{2}{3} } = \frac{1}{ (\frac{2}{3})^2 } $$
Infine, la divisione tra due frazioni 1/1:(2/3)2 posso riscriverla come il prodotto della prima frazione per il reciproco della seconda frazione
$$ \frac{1}{ (\frac{2}{3})^2 } = \frac{1}{1} \cdot ( \frac{3}{2} )^2 = (\frac{3}{2})^2 $$
E così via.
