Perché un numero elevato a zero è uguale a uno
Un numero elevato a zero è uguale a 1 per la proprietà della divisione delle potenze
$$ \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} $$
Applicando la proprietà riflessiva dell'uguaglianza (=) vale anche la relazione inversa
$$ a^{n-m} = \frac{a^n}{a^m} $$
Quindi, posso scrivere a0 considerando il caso in cui gli esponenti sono uguali n=m
$$ a^0 = a^{n-m} = \frac{a^n}{a^m} $$
Poiché n=m il quoziente diventa uguale a 1
$$ a^0 = a^{n-n} = \frac{a^n}{a^n} = 1 $$
Nota. Questa proprietà delle potenze è confermata anche dalla prima proprietà delle potenze (prodotto di potenze di eguale base) $$ 4^3 \cdot \color{red}{4^0} = 4^{3+0} = 4^3 \Leftrightarrow 4^3 \cdot \color{red}{1} $$ Pertanto 40=1
Un esempio pratico
Considero una potenza con base a=2 elevata a zero
$$ 2^0 $$
Posso scrivere questa potenza sostituendo l'esponente 0 con una differenza pari a zero di due numeri interi non nulli.
Ad esempio 3-3
$$ 2^0 = 2^{3-3} $$
A sua volta, per la proprietà delle potenze, posso scrivere la differenza degli esponenti come il rapporto tra due potenze
$$ 2^0 = 2^{3-3} = \frac{2^3}{2^3} $$
Una potenza equivale a scrivere la base moltiplicata a se stessa
$$ 2^0 = 2^{3-3} = \frac{2^3}{2^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} $$
Quest'ultima è una frazione apparente. Quindi, posso semplificare il numeratore e il denominatore.
Il risultato finale è uguale a 1.
$$ 2^0 = 2^{3-3} = \frac{2^3}{2^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} = 1 $$
Lo stesso procedimento vale per qualsiasi altra potenza con base non nulla.
Nota. Il procedimento non vale, invece, se la base è uguale a zero (a=0) perché porta a una forma indeterminata 00. $$ 0^0 = 0^{3-3} = \frac{0^3}{0^3} = \frac{0}{0} $$
Osservazioni
Alcune osservazioni e note varie aggiuntive
- Il primo a stabilire che x0=1 fu il matematico arabo-ebreo Al-Samaw'al nel XII secolo. Uno dei principali successori degli studi del matematico arabo Al Karaji.
E così via.
