Perché un numero elevato a zero è uguale a uno

Un numero elevato a zero è uguale a 1 per la proprietà della divisione delle potenze

$$ \frac{a^n}{a^m} = a^{n-m} $$

Applicando la proprietà riflessiva dell'uguaglianza (=) vale anche la relazione inversa

$$ a^{n-m} = \frac{a^n}{a^m} $$

Quindi, posso scrivere a0 considerando il caso in cui gli esponenti sono uguali n=m

$$ a^0 = a^{n-m} = \frac{a^n}{a^m} $$

Poiché n=m il quoziente diventa uguale a 1

$$ a^0 = a^{n-n} = \frac{a^n}{a^n} = 1 $$

Nota. Questa proprietà delle potenze è confermata anche dalla prima proprietà delle potenze (prodotto di potenze di eguale base) $$ 4^3 \cdot \color{red}{4^0} = 4^{3+0} = 4^3 \Leftrightarrow 4^3 \cdot \color{red}{1} $$ Pertanto 40=1

    Un esempio pratico

    Considero una potenza con base a=2 elevata a zero

    $$ 2^0 $$

    Posso scrivere questa potenza sostituendo l'esponente 0 con una differenza pari a zero di due numeri interi non nulli.

    Ad esempio 3-3

    $$ 2^0 = 2^{3-3} $$

    A sua volta, per la proprietà delle potenze, posso scrivere la differenza degli esponenti come il rapporto tra due potenze

    $$ 2^0 = 2^{3-3} = \frac{2^3}{2^3} $$

    Una potenza equivale a scrivere la base moltiplicata a se stessa

    $$ 2^0 = 2^{3-3} = \frac{2^3}{2^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} $$

    Quest'ultima è una frazione apparente. Quindi, posso semplificare il numeratore e il denominatore.

    Il risultato finale è uguale a 1.

    $$ 2^0 = 2^{3-3} = \frac{2^3}{2^3} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2}{2 \cdot 2 \cdot 2} = 1 $$

    Lo stesso procedimento vale per qualsiasi altra potenza con base non nulla.

    Nota. Il procedimento non vale, invece, se la base è uguale a zero (a=0) perché porta a una forma indeterminata 00. $$ 0^0 = 0^{3-3} = \frac{0^3}{0^3} = \frac{0}{0} $$

    E così via.

     


     

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