Esercizio teoria dei gruppi 8
Verificare se il gruppo additivo (R,+) è omomorfo rispetto a se stesso tramite la relazione f:x→x2
$$ f:(R,+) \rightarrow (R,+) $$
Si parla di omomorfismo di gruppi da un gruppo (G,*) a un gruppo (H,#) tramite una relazione f
$$ f:G \rightarrow H $$
se per qualsiasi coppia di elementi a,b di G è soddisfatta la condizione
$$ \forall \ a,b \in G \Rightarrow f(a*b) = f(a) \# f(b) $$
In questo caso la funzione f da verificare è x2, gli insiemi G=H sono l'insieme dei numeri reali (R) e entrambi i gruppi coincidono (R,+).
Quindi l'operazione binaria da considerare è *=+ e #=+
$$ \forall \ a,b \in R \Rightarrow (a+b)^2 = (a)^2+(b)^2 $$
Il quadrato di un binomio (a+b)2 non è uguale alla somma dei quadrati
$$ (a+b)^2 \ne a^2 + b^2 $$
perché
$$ (a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $$
Pertanto, il gruppo additivo (R,+) non è omomorfo rispetto a se stesso tramite la funzione x→x2.
E così via.
