Esercizio gruppi 1

L'insieme finito A={-3,-2,-1,0,1,2,3} è un gruppo rispetto all'operazione di addizione (+) dei numeri interi (Z)?

Per rispondere a questa domanda verifico se l'insieme A rispetto all'operazione di addizione soddisfa tutte le proprietà dei gruppi.

1. Nell'insieme A l'operazione + soddisfa la proprietà associativa. $$ (a+b)+c = a+(b+c) \ \ \ \ \forall \ a,b,c \in A $$
2. Nell'insieme A esiste l'elemento neutro (o elemento identità). E' l'elemento a=0. Qualsiasi elemento a di A sommato a zero dà come risultato l'elemento stesso $$ a+0=0+a=a $$
3. Ogni elemento dell'insieme A ha un elemento inverso in A rispetto all'addizione. Ad esempio $$ 1+(-1)=0, 2+(-2)=0, 3+(-3)=0, 0+0=0 $$
4. L'insieme A non è chiuso rispetto all'operazione di addizione + dei numeri interi. Per essere un gruppo in A, il risultato dell'addizione dovrebbe essere sempre incluso nell'insieme A. Questo però non accade. Ad esempio $$ 3+1=4 \notin A $$

Pur soddisfacendo le prime tre proprietà, il testo dell'esercizio chiedeva esplicitamente se l'insieme A formava un gruppo con l'addizione + dei numeri interi (Z).

Nota. L'addizione dei numeri interi (Z) non è l'addizione dell'aritmetica modulare.

Soluzione

Pertanto, l'insieme A non forma un gruppo rispetto all'addizione + dei numeri interi.

E così via.