Il determinante modulare di una matrice
Il determinante modulare di una matrice è il valore calcolato dal determinante di quella matrice considerando ilo modulo un certo numero n.
Per calcolare il determinante modulo n di una matrice, calcolo il determinante della matrice stessa.
Una volta calcolato il determinante, applico l'operazione modulo n per ottenere il determinante modulare.
Cos'è il modulo? Il modulo di un numero è il resto della divisione di quel numero per un altro numero dato, denominato divisore. Nell'aritmetica modulare questa operazione è indicata come a mod n e determina quanto "avanza" dopo aver diviso un numero "a" per "n". Ad esempio, $$ 8 \mod 5 = 3 $$ perché la divisione 8 diviso 5 ha come resto 3. Questo concetto è molto utile nella crittografia.
Un esempio pratico
Considero la matrice quadrata 2x2 in modulo 5.
$$ A = \begin{pmatrix} 8 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \ \mod \ 5 $$
Per prima cosa calcolo il determinante modulare della matrice
$$ \det(A) \ \mod \ 5 = ( 8 \cdot 2 ) - ( -1 \cdot 3 ) \ \mod \ 5 $$
$$ \det(A) \ \mod \ 5= 16 + 3 \ \mod \ 5 $$
$$ \det(A) \ \mod \ 5= 19 \ \mod \ 5 $$
Poi applico l'operazione modulo 5 sul risultato 19.
In questo caso la divisione 19:5 ha resto 4.
Quindi, il determinante modulare della matrice A nel modulo 5 è 4.
$$ \det(A) \ \mod \ 5 = 4 $$
Nota. Il risultato del determinante modulare dipende significativamente dal valore del modulo scelto. Cambiando il modulo, il determinante della stessa matrice può variare notevolmente.
Esempio 2
Considero la stessa matrice A dell'esempio precedente ma questa volta nel modulo 6.
$$ A = \begin{pmatrix} 8 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix} \ \mod \ 6 $$
Il determinante della matrice si calcola allo stesso modo:
$$ \det(A) \ \mod \ 5 = ( 8 \cdot 2 ) - ( -1 \cdot 3 ) \ \mod \ 6 $$
$$ \det(A) \ \mod \ 5= 16 + 3 \ \mod \ 6 $$
$$ \det(A) \ \mod \ 5= 19 \ \mod \ 6 $$
Tuttavia, in questo caso devo applicare un'operazione modulo 6.
Adesso la divisione 19:6 ha resto 1.
Quindi, il determinante modulare della matrice A nel modulo 6 è 1.
$$ \det(A) \ \mod \ 6 = 1 $$
E' un valore diverso rispetto al determinante calcolato nel modulo 5.
E così via.
