Equazione diofantea
Un'equazione diofantea ( o diofantina ) è un'equazione a più incognite con coefficienti interi e soluzioni intere. $$ ax+by=c $$
Si chiamano così perché prendono il loro nome da Diofanto di Alessandria.
Un esempio pratico
Un esempio di equazione diofantea è l'equazione
$$ 2x+6y=4 $$
I coefficienti sono numeri interi a=2, b=6, c=4.
Anche le soluzioni x=-1 e y=1 sono numeri interi.
Nota. L'equazione ha infinite soluzioni. Ad esempio, x=5 e y=-1.
Come trovare le equazioni diofantee
Dati tre coefficienti interi (a,b,c) non è detto che esistano delle soluzioni intere.
Esempio. Questa equazione è simile alla precedente ma non è diofantea perché non ammette soluzioni intere $$ 2x+6y=3 $$
Inoltre, se anche esistano delle soluzioni intere, non è sempre facile trovarle.
Come capire se un'equazione ammette soluzioni intere
Un'equazione ax+by=c ammette soluzioni intere x,y se il massimo comune divisore MCD(a,b) è un divisore di c. $$ MCD(a,b)=d ∧ d|c $$
Un esempio pratico
Data la seguente equazione
$$ 2x+6y=4 $$
Il massimo comune divisore di a e b è 2
$$ MCD(2,6)=2 $$
Il numero 2 è un divisore di c=4.
Quindi, l'equazione ammette soluzioni intere ed è un'equazione diofantea.
Per trovare le soluzioni si può esprimere MCD(a,b) come combinazione lineare di a e b.
$$ MCD(2,6) = 2 = j2 + k6 $$
La soluzione della precedente è j=-2 e k=1.
$$ j2 + k6 = 2 = MCD(2,6) $$
$$ (-2) \cdot 2 + 1 \cdot 6 = 2 = MCD(2,6) $$
$$ -4 + 6 = 2 = MCD(2,6) $$
$$ 2 = 2 = MCD(2,6) $$
Quindi, esiste un numero intero $ h $ tale che le soluzioni dell'equazione diofantea sono:
$$ x=jh = -2h $$
$$ y=kh = 1h $$
Sostituisco $ x=jh $ e $ y=kh $ nell'equazione $ 2x+6y=4 $ per trovare il valore di $ h $
$$ 2 \cdot jh+6 \cdot kh=4 $$
$$ 2 \cdot (-2h) +6 \cdot (1h) = 4 $$
$$ -4h +6h = 4 $$
$$ 2h = 4 $$
$$ h = 2 $$
In questo caso è $ h=2 $, quindi ricavo i valori della x e della y sapendo che $ x=-2h $ e $ y = 1h $
$$ x= -2h = -2 \cdot 2 = - 4 $$
$$ y= 1h = 1 \cdot 2 = 2 $$
Pertanto, i valori interi che soddisfano l'equazione diofantea $ 2x+6y=4 $ sono $ x=-4 $ e $ y = 2 $
$$ 2x+6y=4 $$
$$ 2 \cdot (-4) + 6 \cdot 2 = 4 $$
$$ -8 + 12 = 4 $$
$$ 4 = 4 $$
Ho così trovato una soluzione intera dell'equazione.
Nota. In ogni caso, non è sempre facile e immediato individuare il numero $ h $ tale che $ x=jh $ e $ y=kh $.
Come trovare tutte le soluzioni dell'equazione diofantea
Una volta trovata la soluzione dell'equazione diofantea tramite il massimo comune divisore MCD(a,b), posso calcolare tutte le altre soluzioni con le seguenti formule:
$$ x'=x- \frac{b}{d}n \\ y'=y + \frac{a}{d}n $$
Dove n è un numero intero qualsiasi di Z.
Esempio
Le soluzioni di questa equazione diofantea sono x=-1 e y=1.
$$ 2x+6y=4 $$
Il massimo comune divisore di a e b è 2.
$$ MCD(2,6)=2=d $$
Le altre soluzioni dell'equazione sono:
$$ x'=x- \frac{b}{d}n = -1- \frac{6}{2}n = -1 - 3n \\ y'=y + \frac{a}{d}n =1 + \frac{2}{2}n =1 + n $$
Al variare di n ottengo tutte le altre soluzioni intere dell'equazione.
$$ \begin{array}{c|lcr} \text{n} & \text{x'} & \text{y'} \\ \hline 1 & -4 & 2 & \\ 2 & -7 & 3 & \\ 3 & -10 & 4 & \end{array} $$
E così via.
