Esercizio svolto con l'algoritmo di Gauss Jordan
Ho una matrice M_{4,4} e devo calcolare la matrice equivalente a gradini tramite il metodo di Gauss Jordan.
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix} $$
La prima colonna ha già un pivot in alto a sinistra.
Quindi annullo gli elementi sottostanti il pivot, quelli diversi da zero, con la regola dell'algoritmo di Gauss:
$$ R_i - ( q_j / p_k ) \cdot R_k $$
Prima annullo l'elemento qj=1
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ [1] & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 1-(1)·1 & 0-(1)·1 & 2-(1)·1 & 1-(1)·2 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 2 & 0 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix} $$
Poi annullo l'elemento qj=2
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ [2] & 0 & 4 & 2 \\ \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 2-(2)·1 & 0-(2)·1 & 4-(2)·1 & 2-(2)·2 \\ \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \\ \end{bmatrix} $$
Scambio i posti tra la riga R2 e R3.
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1 & 1 & -1 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \\ \end{bmatrix} $$
Poi moltiplico R2 → R2·(-1)
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & -1·(-1) & 1·(-1) & -1·(-1) \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \\ \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3 & -3 & 3 \\ 0 & -2 & 2 & -2 \\ \end{bmatrix} $$
Ho così ottenuto anche il pivot nella seconda colonna.
Ora annullo gli elementi sottostanti qj=3 e qj=-2.
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 3-(3/1)·1 & -3-(3/1)·(-1) & 3-(3/1)·1 \\ 0 & -2-(-2/1)·1 & 2-(-2/1)·(-1) & -2-(-2/1)·1 \\ \end{bmatrix} $$
$$ M_{4,4} = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix} $$
La matrice ha soltanto due pivot.
Nota.Il numero dei pivot della matrice a gradini corrisponde al rango della matrice originaria M4,4. Quindi la matrice M4,4 ha rango 2.
