Esercizio sulle basi degli spazi vettoriali 2
Nello spazio vettoriale V=R4 i vettori v1=(1,0,-1,2), v2=(0,2,1,1), v3=(3,-4,-5,4), v4=(-3,4,1,4) sono un insieme di generatori del sottospazio vettoriale W
$$ W=< \ \vec{v}_1 \ , \ \vec{v}_2 \ , \ \vec{v}_3 \ , \ \vec{v}_4 \ > $$
Devo trovare la dimensione e la base del sottospazio vettoriale W.
Soluzione
Per prima cosa verifico se i vettori che generano il sottospazio W sono linearmente indipendenti
$$ \vec{v}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v}_3 = \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} $$
$$ \vec{v}_4 = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} $$
Se così fosse... avrei trovato la base e la dimensione.
I vettori sono linearmente indipendenti se la loro combinazione lineare è uguale al vettore nullo solo se i coefficienti scalari sono tutti nulli (soluzione banale)
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v}_3 + k_4 \vec{v}_4 = \vec{0} $$
$$ k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + k_3 \begin{pmatrix} 3 \\ -4 \\ -5 \\ 4 \end{pmatrix} + k_4 \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} k_1 \\ 0 \\ -k_1 \\ 2k_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2k_2 \\ k_2 \\ k_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3k_3 \\ -4k_3 \\ -5k_3 \\ 4k_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3k_4 \\ 4k_4 \\ k_4 \\ 4k_4 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} k_1 + 3k_3 - 3k_4 \\ 2k_2-4k_3+4k_4 \\ -k_1+k_2-5k_3+k_4 \\ 2k_1+k_2+4k_3+4k_4 \end{pmatrix} = 0 $$
Trasformo il sistema vettoriale in un sistema di equazioni
$$ \begin{cases} k_1 + 3k_3 - 3k_4 = 0 \\ 2k_2-4k_3+4k_4 = 0 \\ -k_1+k_2-5k_3+k_4 = 0\\ 2k_1+k_2+4k_3+4k_4 = 0 \end{cases} $$
Il sistema ha n=4 variabili.
La matrice dei coefficienti ha rango r=3.
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 \\ 0 & 2 & -4 & 4 \\ -1 & 1 & -5 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 4 \end{pmatrix} $$
Verifica. Il determinante della matrice dei coefficienti è nullo $$ \det(A) = 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 & -4 & 4 \\ 1 & -5 & 1 \\ 1 & 4 & 4 \end{pmatrix} +3 \cdot \begin{pmatrix} 0 & -4 & 4 \\ -1 & -5 & 1 \\ 2 & 4 & 4 \end{pmatrix} - (-3) \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 & -4 \\ -1 & 1 & -5 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$ $$ \det(A) = 1 \cdot 0 +3 \cdot 0 +3 \cdot 0 = 0 $$
Pertanto, secondo il teorema di Rouché-Capelli con n=4 e r=3 il sistema ha infinite soluzioni $$ \infty^{n-r} = \infty^{4-3} = \infty $$
Questo vuol dire che i quattro vettori sono linearmente dipendenti tra loro.
Quindi, non sono una base del sottospazio W.
Per trovare la base devo eliminare un vettore lineramente dipendente dagli altri dall'insieme dei generatori {v1,v2,v3,v4}
Potrei toglierne uno a caso ma rischierei di eliminare un vettore linearmente indipendente.
Per capire quale vettore eliminare devo trovare le soluzioni del sistema
$$ \begin{cases} k_1 + 3k_3 - 3k_4 = 0 \\ 2k_2-4k_3+4k_4 = 0 \\ -k_1+k_2-5k_3+k_4 = 0\\ 2k_1+k_2+4k_3+4k_4 = 0 \end{cases} $$
Per vedere i passaggi della risoluzione del sistema rimando a questo esercizio svolto.
Il sistema lineare omogeneo ha questa soluzione.
$$ \begin{cases} k_1 = - 3k_3 \\ k_2 = 2k_3 \\ k_4 = 0 \\ k_3 = c \end{cases} $$
Dove k3 è un parametro del sistema perché può assumere qualsiasi valore reale.
Per semplicità assegno al parametro il valore uno k3=1
$$ \begin{cases} k_1 = - 3k_3 \\ k_2 = 2k_3 \\ k_4 = 0 \\ k_3 = 1 \end{cases} $$
Questo mi permette di trovare k1 e k2.
$$ \begin{cases} k_1 = - 3 \cdot 1 \\ k_2 = 2 \cdot 1 \\ k_4 = 0 \\ k_3 = 1 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} k_1 = - 3 \\ k_2 = 2 \\ k_4 = 0 \\ k_3 = 1 \end{cases} $$
Una volta trovati la soluzione sostituisco i risultati k1, k2, k3, k4 nella combinazione lineare dei vettori generatori
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_3 \vec{v}_3 + k_4 \vec{v}_4 = \vec{0} $$
$$ -3 \cdot \vec{v}_1 + 2 \cdot \vec{v}_2 + 1 \cdot \vec{v}_3 + 0 \cdot \vec{v}_4 = \vec{0} $$
$$ -3 \vec{v}_1 + 2 \vec{v}_2 + \vec{v}_3 = \vec{0} $$
Questa combinazione lineare mi permette di ricavare un vettore linearmente dipendente dagli altri scegliendo tra i vettori v1, v2, v3.
Nota. Il vettore v4 non appare nella combinazione lineare. Quindi non è eliminabile perché è linearmente indipendente da v1, v2, v3. Quindi, se avessi scelto a caso di eliminare v4 dai generatori avrei commesso un errore. Non avrei mai potuto ricavare una base del sottospazio W eliminando il vettore v4.
Per semplicità scelgo di ricavare il vettore v3 dagli altri
$$ \vec{v}_3 = 3 \vec{v}_1 - 2 \vec{v}_2 $$
Poi elimino il vettore linearmente dipendente v3 dall'insieme dei generatori del sottospazio W
$$ W = < \ \vec{v}_1 \ , \ \vec{v}_2 \ , \ \color{red}{ \vec{v}_3 } \ , \ \vec{v}_4 \ > $$
$$ W = < \ \vec{v}_1 \ , \ \vec{v}_2 \ , \ \vec{v}_4 \ > $$
A questo punto devo verificare se i tre vettori v1, v2, v4 sono linearmente indipendenti.
Per farlo scrivo la loro combinazione lineare uguale al vettore nullo
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_4 \vec{v}_4 = \vec{0} $$
Scrivo il sistema vettoriale
$$ k_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \\ 2 \end{pmatrix} + k_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} + k_4 \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} k_1 \\ 0 \\ -k_1 \\ 2k_1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 \\ 2k_2 \\ k_2 \\ k_2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -3k_4 \\ 4k_4 \\ k_4 \\ 4 k_4 \end{pmatrix} = 0 $$
$$ \begin{pmatrix} k_1 - 3k_4 \\ 2k_2 + 4k_4 \\ -k_1 + k_2 + k_4 \\ 2k_1 + k_2 +4 k_4 \end{pmatrix} = 0 $$
Trasformo l'equazione vettoriale in un sistema di equazioni
$$ \begin{cases} k_1 - 3k_4 = 0 \\ 2k_2 + 4k_4 = 0 \\ -k_1 + k_2 + k_4 = 0 \\ 2k_1 + k_2 +4 k_4 = 0 \end{cases} $$
Il sistema ha n=4 variabili e tre equazioni.
La matrice dei coefficienti ha rango r=3.
$$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 \end{pmatrix} $$
Verifica. Un minore di ordine 3 nella matrice dei coefficienti è diverso da zero. $$ \det \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} - 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} + (-3) \cdot \begin{pmatrix} 0 & 2 \\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ $$\det \begin{pmatrix} 1 & 0 & -3 \\ 0 & 2 & 4 \\ -1 & 1 & 1 \end{pmatrix} = 1 \cdot (2-4) -3 \cdot 2 = - 8$$
Secondo il teorema di Rouché-Capelli con n=3 e r=3 il sistema ha una sola soluzione
$$ \infty^{n-r} = \infty^{3-3} = \infty^0 = 1 \ soluzione $$
Essendo un sistema omogeneo ha sempre una soluzione banale k1=0, k2=0, k4=0
Non potendoci essere altre soluzioni, l'unico modo per ottenere il vettore nullo dalla combinazione lineare dei vettori è la soluzione banale k1=0, k2=0, k4=0.
$$ k_1 \vec{v}_1 + k_2 \vec{v}_2 + k_4 \vec{v}_4 = \vec{0} $$
Pertanto, i tre vettori generatori v1, v2, v3 sono linearmente indipendenti e sono una base del sottospazio W.
$$ B_W = \{ \vec{v}_1 \ , \ \vec{v}_2 \ , \ \vec{v}_3 \} $$
La base del sottospazio W è composta da tre vettori.
Quindi, la dimensione del sottospazio vettoriale W è uguale a tre
$$ \dim W = 3 $$
E così via.
