Esercizio sistema a gradini 3
Devo risolvere il sistema di equazioni lineari
$$ \begin{cases} x_1 + 3x_3 - 3x_4 = 0 \\ 2x_2 -4x_3 +4x_4 =0 \\ -x_1 +x_2 -5x_3 +x_4 = 0 \\ 2x_1 + x_2 + 4x_3 + 4x_4 = 0 \end{cases} $$
Cerco di risolverlo trasformandolo in un sistema a gradini tramite le regole di Gauss
La matrice completa del sistema è
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 \\ -1 & 1 & -5 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 4 & 0 \end{pmatrix} $$
Sommo alla terza riga la prima riga R3=R3+R1
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 \\ -1+1 & 1+0 & -5+3 & 1+(-3) & 0+0 \\ 2 & 1 & 4 & 4 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 4 & 4 & 0 \end{pmatrix} $$
Sottraggo alla quarta riga la prima riga moltiplicata per due R4=R4-2R1
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 2-2 & 1-0 & 4-6 & 4-(-6) & 0-0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 2 & -4 & 4 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 10 & 0 \end{pmatrix} $$
Sottraggo alla seconda riga la quarta riga moltiplicata per due R2=R2-2R4
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0-0 & 2-2 & -4-(-4) & 4-20 & 0-0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 10 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -16 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 10 & 0 \end{pmatrix} $$
Sottratto alla quarta riga la terza riga R4=R4-R3
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -16 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0-0 & 1-1 & -2-(-2) & 10-(-2) & 0-0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -16 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & 0 \end{pmatrix} $$
Scambio le posizioni della seconda riga e della terza riga R2⇔R3
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -16 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & 0 \end{pmatrix} $$
Moltiplico la terza riga per tre R3=3·R3
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -16 \cdot 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -48 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 12 & 0 \end{pmatrix} $$
Moltiplico la quarta riga quattro R4=4·R4
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -48 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 12 \cdot 4 & 0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -48 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 48 & 0 \end{pmatrix} $$
Sommo alla quarta riga la terza riga R4=R4+R3
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -48 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 48+(-48) & 0 \end{pmatrix} $$
$$ A|B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -48 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} $$
Il risultato finale è un sistema a gradini.
Nota. La quarta colonna è un gradino allungato. Già da questo si può dedurre che la variabile x3 è un parametro del sistema.
Il rango del sistema è uguale r=3 perché ci sono tre gradini.
Sapendo che il sistema ha n=4 incognite, per il teorema di Rouché-Capelli deduco che il sistema ha infinite soluzioni
$$ \infty^{n-r} = \infty^{4-3} = \infty \ soluzioni $$
Trasformo la matrice completa in un sistema di equazioni
$$ \begin{cases} x_1 + 3x_3 - 3x_4 = 0 \\ x_2 -2x_3 -2x_4 = 0 \\ - 48x_4 = 0 \end{cases} $$
Divido entrambi i membri dell'equazione -48x4=0 per -48 e ottengo x4=0
$$ \begin{cases} x_1 + 3x_3 - 3x_4 = 0 \\ x_2 -2x_3 -2x_4 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases} $$
Sostituisco x4=0 nella prima e nella terza equazione
$$ \begin{cases} x_1 + 3x_3 - 3 \cdot 0 = 0 \\ x_2 -2x_3 - 2 \cdot 0 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} x_1 + 3x_3 = 0 \\ x_2 -2x_3 = 0 \\ x_4 = 0 \end{cases} $$
Ricavo le incognite x1 e x2 rispettivamente dalla prima e dalla seconda equazione.
$$ \begin{cases} x_1 = - 3x_3 \\ x_2 = 2x_3 \\ x_4 = 0 \end{cases} $$
L'incognita x3 non è definita ed è un parametro del sistema perché può assumere qualsiasi valore reale.
Questa è la soluzione del sistema.
$$ \begin{cases} x_1 = - 3x_3 \\ x_2 = 2x_3 \\ x_4 = 0 \\ x_3 = k \end{cases} $$
Il sistema ha infinite soluzioni, una per ogni numero reale assegnabile al parametro x3=k.
E così via.
