Teorema o formula di Grassman
Cosa dice il teorema di Grassman
In uno spazio vettoriale V nel campo K di dimensione n finita, dati due sottospazi vettoriali A e B, la dimensione della somma dei sottospazi A+B è pari a
$$ dim_k(A+B) = dim_k(A)+dim_k(B)-dim_k(A⋂B) $$
In pratica per conoscere la dimensione dei due sottospazi devo sommare le dimensioni dei singoli sottospazi e sottrarre la dimensione della loro intersezione.
Pertanto, la somma delle dimensioni dei due sottoinsiemi non è uguale alla dimensione dell'insieme somma.
$$ dim_k(A+B) \ne dim_k(A)+dim_k(B) $$
Fatta eccezione se i sottospazi sono in somma diretta.
Nota. Questo teorema si basa su un principio simile a quello usato nella teoria degli insiemi, in base al quale la cardinalità dell'unione di due insiemi non disgiunti |A∪B| è uguale alla somma degli elementi di ogni singolo insieme |A|+|B| meno gli elementi della loro intersezione |A⋂B|. $$ |A∪B| = |A|+|B| - |A⋂B| $$ In caso contrario gli elementi in comune A⋂B sarebbero contati due volte.
La dimostrazione
Considero due sottospazi vettoriali U e W delllo spazio vettoriale V.
L'intersezione U⋂W tra due sottospazi vettoriali U e W contiene i vettori in comune che appartengono sia a U che a W
$$ U \cap W $$
Per ipotesi la base del sottospazio U⋂W è composta da r vettori
$$ B_{U⋂W} = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_r \} $$
Quindi, la dimensione del sottospazio U⋂W è uguale a r
$$ \dim (U⋂W) = r $$
Essendo vettori dell'intersezione, i vettori v1, v2, ...,vr appartengono sia a U che a W
Per ipotesi la base del sottospazio U è composto da r+s vettori
Quindi la dimensione del sottospazio U è uguale a r+s
$$ \dim (U) = r+s $$
La base del sottospazio U è composta dai vettori v1, v2, ...,vr che appartengono anche a U e altri u1, u2, ...,us vettori di U
$$ B_{U} = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_r , \vec{u}_1 , \vec{u}_2 , ... , \vec{u}_s \} $$
Poiché i vettori v1, v2, ...,vr sono la base di U⋂W, allora sono tra loro linearmente indipendenti
$$ B_{U} = \{ \underbrace{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_r }_{\text{lin. indipendenti}}, \vec{u}_1 , \vec{u}_2 , ... , \vec{u}_s \} $$
Per ipotesi la base del sottospazio W è composto da r+t vettori
Quindi la dimensione del sottospazio W è uguale a r+t
$$ \dim (W) = r+t $$
La base del sottospazio W è composta dai vettori v1, v2, ...,vr che appartengono anche a W e altri w1, w2, ...,wt vettori di W
$$ B_{W} = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_r , \vec{w}_1 , \vec{w}_2 , ... , \vec{w}_t \} $$
Poiché i vettori v1, v2, ...,vr sono la base di U⋂W, allora sono tra loro linearmente indipendenti
$$ B_{W} = \{ \underbrace{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_r }_{\text{lin. indipendenti}}, \vec{w}_1 , \vec{w}_2 , ... , \vec{w}_t \} $$
A questo punto devo trovare una base anche di U+W
Il sottospazio U+W è composto da tutti i vettori che si possono scrivere come somma dei vettori di U e dei vettori di W.
I vettori di U sono generati dalla base
$$ B_{U} = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_r , \vec{u}_1 , \vec{u}_2 , ... , \vec{u}_s \} $$
I vettori di W sono generati dalla base
$$ B_{W} = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_r , \vec{w}_1 , \vec{w}_2 , ... , \vec{w}_t \} $$
Pertanto, un sistema di generatori di U+W è
$$ G_{U+W} = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_r , \vec{u}_1 , \vec{u}_2 , ... , \vec{u}_s , \vec{w}_1 , \vec{w}_2 , ... , \vec{w}_t \} $$
Devo però capire se sono anche linearmente indipendenti per formare una base di U+W
Sapendo che i vettori da v1 a us sono la base di U, questi sono sicuramente linearmente indipendenti tra loro
$$ G_{U+W} = \{ \underbrace{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_r , \vec{u}_1 , \vec{u}_2 , ... , \vec{u}_s }_{\text{lin. indipendenti}} , \vec{w}_1 , \vec{w}_2 , ... , \vec{w}_t \} $$
Sapendo che i vettori da w1 a wt sono la base di W, anche questi sono linearmente indipendenti tra loro
$$ G_{U+W} = \{ \underbrace{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_r , \vec{u}_1 , \vec{u}_2 , ... , \vec{u}_s }_{\text{lin. indipendenti}} , \underbrace{ \vec{w}_1 , \vec{w}_2 , ... , \vec{w}_t }_{\text{lin. indipendenti}} \} $$
Non è detto però che i due blocchi siano linearmente indipendenti presi tutti insieme.
Per verificare se sono linearmente indipendenti, considero una combinazione lineare di G(U+W) uguale a zero per v
$$ \alpha_1 \vec{v}_1 + ...+ \alpha_r \vec{v}_r + \beta_1 \vec{u}_1 + ...+ \beta_s \vec{u}_s + \lambda_1 \vec{w}_1 + ... + \lambda_t \vec{w}_t = \vec{0} $$
Devo dimostrare che i coefficienti siano tutti uguali a zero.
Sposto i vettori che formano la base di W al secondo membro dell'equazione
$$ \alpha_1 \vec{v}_1 + ...+ \alpha_r \vec{v}_r + \beta_1 \vec{u}_1 + ...+ \beta_s \vec{u}_s = - \lambda_1 \vec{w}_1 - ... - \lambda_t \vec{w}_t $$
Questo dimostra un'uguaglianza tra un generico vettore di U (a sinistra) e un generico vettore di W (a destra)
$$ \underbrace{ \alpha_1 \vec{v}_1 + ...+ \alpha_r \vec{v}_r + \beta_1 \vec{u}_1 + ...+ \beta_s \vec{u}_s }_{ \in U }= \underbrace{ - \lambda_1 \vec{w}_1 - ... - \lambda_t \vec{w}_t }_{ \in W } $$
L'uguaglianza tra i vettori nel membro di sinistra e di destra, implica che entrambi i vettori appartengono sia a U che a W, ossia all'intersezione U⋂W.
$$ \underbrace{ \alpha_1 \vec{v}_1 + ...+ \alpha_r \vec{v}_r + \beta_1 \vec{u}_1 + ...+ \beta_s \vec{u}_s }_{ \in U⋂W }= \underbrace{ - \lambda_1 \vec{w}_1 - ... - \lambda_t \vec{w}_t }_{ \in U⋂W } $$
Poiché la base dell'intersezione è BU⋂W={v1,...,vr} ne consegue che i coefficienti β sono tutti nulli perché i vettori u1,..,us non sono necessari per generare i vettori di U⋂W
$$ \beta_1 = \beta_2 = ... = \beta_r = 0 $$
Per la stessa ragione sono nulli tutti i coefficienti λ nel membro di destra perché i vettori w1,..,ws non sono necessari per generare i vettori di U⋂W
$$ \lambda_1 = \lambda_2 = ... = \lambda_r = 0 $$
Pertanto, sapendo che β1...βs=0 e λ1...λt=0 la combinazione lineare diventa
$$ \alpha_1 \vec{v}_1 + ...+ \alpha_r \vec{v}_r + \beta_1 \vec{u}_1 + ...+ \beta_s \vec{u}_s = - \lambda_1 \vec{w}_1 - ... - \lambda_t \vec{w}_t $$
$$ \alpha_1 \vec{v}_1 + ...+ \alpha_r \vec{v}_r + 0 \cdot \vec{u}_1 + ...+ 0 \cdot \vec{u}_s = - 0 \cdot \vec{w}_1 - ... - 0 \cdot \vec{w}_t $$
$$ \alpha_1 \vec{v}_1 + ...+ \alpha_r \vec{v}_r = 0 $$
Per l'ipotesi iniziale i vettori v1, v2, ...,vr sono una base di U⋂W. Quindi sono linearmente indipendenti.
Questo vuol dire che tutti i coefficienti α1...αr=0 sono nulli, perché l'unico modo per ottenere una combinazione lineare nulla α1v1+...+αrvr=0 è la soluzione banale.
$$ \alpha_1 = \alpha_2 = ... = \alpha_r = 0 $$
In conclusione, ho dimostrato che i coefficienti α1...αr=0 , β1...βs=0 e λ1...λt=0 sono uguali a zero.
Se tutti i coefficienti sono nulli, allora l'unico modo per avere la seguente combinazione lineare uguale al vettore nullo è la soluzione banale
$$ \alpha_1 \vec{v}_1 + ...+ \alpha_r \vec{v}_r + \beta_1 \vec{u}_1 + ...+ \beta_s \vec{u}_s + \lambda_1 \vec{w}_1 + ... + \lambda_t \vec{w}_t = \vec{0} $$
Questo dimostra che i vettori v1,...,vr,u1,...,us,w1,...,wt sono linearmente indipendenti tra loro
Pertanto, il generatore G(U+W) è anche una base di U+W
$$ G_{U+W} = B_{U+W} = \{ \vec{v}_1 , \vec{v}_2 , ... , \vec{v}_r , \vec{u}_1 , \vec{u}_2 , ... , \vec{u}_s , \vec{w}_1 , \vec{w}_2 , ... , \vec{w}_t \} $$
La dimensione di U+W è uguale al numero dei vettori nella base
$$ \dim(U+W) = r+s+t $$
Ora conosco la dimensione di tutti i sottospazi
A questo punto posso verificare se la formula di Grassman è corretta
$$ \dim(U+W) = \dim(U) + \dim(W) - \dim(U \cap W) $$
Sostituisco le rispettive dimensioni
$$ \underbrace{ \dim(U+W) }_{r+s+t} = \underbrace{\dim(U)}_{r+s} + \underbrace{ \dim(W) }_{r+t} - \underbrace{ \dim(U \cap W) }_{r} $$
$$ r+s+t = (r+s)+(r+t)-r $$
$$ r+s+t = r+s+r+t-r $$
$$ r+s+t = r+s+t $$
L'uguaglianza tra i due membri dell'equazione dimostra che la formula di Grassman è corretta.
Il caso dei sottospazi in somma diretta
Soltanto se i sottospazi A e B sono in somma diretta tra loro, la dimensione dell'insieme somma dei sottospazi coincide con la somma delle dimensioni dei sottospazi.
$$ dim_k(A \oplus B) = dim_k(A)+dim_k(B) $$
In caso di somma diretta l'intersezione dei due sottospazi è nulla.
$$ A⋂B = {0} $$
pertanto
$$ dim_k(A+B) = dim_k(A)+dim_k(B)-dim_k(A⋂B) $$
$$ dim_k(A+B) = dim_k(A)+dim_k(B)-dim_k(0) $$
$$ dim_k(A+B) = dim_k(A)+dim_k(B) $$
E così via.
