Flusso del campo vettoriale
Cos'è il flusso del campo vettoriale
Il flusso del campo vettoriale V in una superficie S nello spazio è la quantità scalare ottenuta tramite l'integrale di superficie del prodotto scalare v·ds calcolato in ogni punto della superficie S $$ Φ_S = \int_S \vec{v} \cdot \vec{ds} $$
Dove v sono i vettori del campo vettoriale V e ds sono i vettori normali (ortogonali) uscenti da ogni elemento infinitesimo della superficie S.
Il prodotto scalare v·dS in un punto s della superficie è detto flusso del vettore.
$$ \vec{v} \cdot \vec{ds} $$
La somma dei prodotti scalari v·ds in ogni punto della superficie S è detta flusso del campo vettoriale.
$$ Φ_S = \int_S \vec{v} \cdot \vec{ds} $$
Nota. La superficie S può essere una superficie aperta o chiusa. In una superficie aperta il flusso del campo vettoriale può essere calcolato in un verso o nell'altro della superficie. E' uscente se Φ>0 oppure entrante se Φ<0. In una superficie chiusa, invece, il verso è sempre uscente dalla superficie. Il flusso attraverso una superficie chiusa si indica con il simbolo dell'integrale di circuitazione. $$ Φ_S = \oint_S \vec{v} \cdot \vec{ds} $$
Un esempio pratico
Prendo in considerazione una superficie chiusa e curva S.
Suddivido la superficie in superfici infinitesimali s.
In questo modo posso trattare ogni piccola unità di superficie s come un piano.
In ogni punto s traccio il vettore normale uscente ds di modulo pari all'area della superficie s.
Un vettore normale è ortogonale al piano ossia forma un angolo di 90° rispetto al piano.
Nota. Se la superficie S fosse piana anziché curva i vettori normali avrebbero tutti la stessa direzione. Il ragionamento è comunque lo stesso.
Ora aggiungo un campo vettoriale V ossia un campo contenente diversi vettori v.
Ad esempio un campo elettrico o magnetico.
Nota. Per semplicità ho disegnato un campo vettoriale costante dove i vettori hanno tutti la stessa direzione, modulo e verso. Il ragionamento è lo stesso anche nel caso di campo vettoriali più complessi con vettori aventi direzioni, verso e intensità differenti.
In ogni unità di superficie s calcolo il prodotto scalare tra un vettore del campo vettoriale e il vettore normale ds.
Sapendo che il prodotto scalare tra due vettori è pari al prodotto dei rispettivi moduli (lunghezze) |v|·|ds| per il coseno dell'angolo α formato dai due vettori.
$$ \vec{v} \cdot \vec{ds} = |\vec{v}| \cdot |\vec{ds}| \cdot \cos \alpha $$
Il flusso del vettore è il contributo infinitesimo di un punto s della superficie S al flusso del vettore.
Ripeto la stessa operazione per ogni unità di superficie ds.
Il prodotto scalare v'·ds' è diverso dal precedente perché cambia l'angolo tra i vettori ossia la direzione dei vettori.
Nota. In campi vettorial più complessi cambia anche il verso e l'intensità (modulo) dei vettori del campo vettoriale. Sono altre ragioni che modificano il prodotto scalare in ogni punto s della superficie.
La somma di tutti i flussi dei vettori nella superficie S è il flusso del campo vettoriale.
Essendo una somma di valori infinitesimali ds si usa l'integrale.
$$ Φ_S = \int_S \vec{v} \cdot \vec{ds} $$
Nota. Se la superficie S è un solido, il flusso del campo vettoriale va calcolato per ogni superficie esterna del solido. Il procedimento è sempre lo stesso. Ad esempio, se il solido è un cubo o un parallelepipedo bisogna calcolarlo per ognuna delle sei facce.
E così via.
