Esercizio calcolo determinante 1
Devo calcolare il determinante di questa matrice
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$
Per farlo utilizzo il metodo di Gauss
Cerco di trasformare la matrice in una matrice triangolare superiore tramite le regole di Gauss.
- Somma di una riga con un'altra riga moltiplicata per k
- Moltiplicazione per k di una riga
- Scambio di posizione tra due righe
Quando scambio due righe di posizione cambia anche il segno del determinante.
Prima mossa
Scambio di posizione la seconda e la terza riga
$$ R2 \leftrightarrow R3 $$
La matrice diventa
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} $$
Seconda mossa
Sommo alla quarta riga la seconda riga moltiplicata per -1
$$ R4 = R4 + R2 \cdot (-1) $$
La matrice diventa
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0-0 & 1-1 & 2-2 & 2-1 \end{pmatrix} $$
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$
Ora la matrice è una triangolare superiore.
Quindi, il calcolo del determinante si riduce al prodotto degli elementi sulla diagonale principale.
Avendo fatto un numero dispari di scambio riga devo cambiare il segno del determinante
$$ - \det(A) = - \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = - (5 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1 ) = - 5 $$
Il determinante della matrice è -5.
E così via.
