Esercizio calcolo determinante 2
Devo calcolare il determinante di questa matrice
$$ A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 5 & 2 & 3 & 4 \end{pmatrix} $$
Per calcolarlo uso il metodo di Gauss
Trasformo la matrice in una matrice triangolare superiore mediante le regole di Gauss.
- Somma di una riga con un'altra riga moltiplicata per k
- Moltiplicazione per k di una riga
- Scambio di posizione tra due righe
Se effettuo un numero dispari di scambi di riga devo moltiplicare il determinante per -1.
Prima mossa
Scambio di posizione la prima e la quarta riga
$$ R1 \leftrightarrow R4 $$
La matrice diventa
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 5 \end{pmatrix} $$
Seconda mossa
Sommo alla quarta riga la terza riga moltiplicata per -1
$$ R4 = R4 + R3 \cdot (-1) $$
La matrice diventa
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0-0 & 1-1 & 2-2 & 5-1 \end{pmatrix} $$
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} $$
Terza mossa
Scambio di posizione la seconda e la terza riga
$$ R2 \leftrightarrow R3 $$
La matrice diventa
$$ A = \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} $$
Ora la matrice è una triangolare superiore.
Il calcolo del determinante si riduce al prodotto degli elementi sulla diagonale principale.
Avendo fatto un numero pari di scambio riga devo, non cambia il segno del determinante
$$ \det(A) = \det \begin{pmatrix} 5 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 4 \end{pmatrix} = 5 \cdot 1 \cdot 0 \cdot 4 = 0 $$
Il determinante della matrice è 0.
E così via.
