Come trovare una soluzione particolare dell'equazione differenziale con il metodo della somiglianza
Metodo della somiglianza delle equazioni differenziali
Il metodo della somiglianza mi permette di trovare una soluzione particolare di un'equazione differenziale non omogenea del secondo ordine $$ ay''+by'+cy = f(x) $$ in base al suo termine noto f(x).
Se il termine noto f(x) ha una forma particolare, allora anche la soluzione particolare yp ha una struttura simile al termine noto.
Questo agevola la ricerca della soluzione particolare, quindi è utile per risolvere l'equazione differenziale del 2° ordine.
A cosa serve la soluzione particolare? Conoscendo una soluzione particolare yp e la soluzione generale dell'equazione differenziale omogenea yo, ottengo la soluzione generale y dell'equazione differenziale non omogenea del 2° ordine tramite la loro somma $$ y = y_o + y_p $$
Il termine noto è un polinomio
Se il termine noto f(x) dell'equazione differenziale è un polinomio Pn(x) di grado n
$$ ay''+by'+cy = P_n(x) $$
allora la soluzione particolare yp è
| f(x) | yp | condizioni |
|---|---|---|
| Pn(x) | A0+A1x+A2x2+...+Anxn | se c≠0 |
| Pn(x) | x(A0+A1x+A2x2+...+Anxn) | se c=0, b≠0 |
| Pn(x) | x2(A0+A1x+A2x2+...+Anxn) | se c=0, b=0 |
In pratica se manca y (c=0) devo definire un polinomio di grado n+1 rispetto al termine noto.
Se manca sia y (c=0) che y' (b=0) devo definire un polinomio di grado n+2 rispetto al termine noto.
Esempio
Devo trovare una soluzione particolare (yp) dell'equazione differenziale del 2° ordine non omogenea
$$ y''+y = x^2 $$
Utilizzo il metodo della somiglianza per trovare l'integrale particolare.
$$ ay''+by'+cy = f(x) $$
In questo caso f(x)=x2, a=1, b=0 e c=1.
Il termine noto è un polinomio P2(x)=x2 di secondo grado.
Poiché il coefficiente c è diverso da zero, ossia la funzione y è presente nell'equazione, la soluzione particolare ha una struttura del tipo
$$ y_p = A_0 + A_1 x + ... + A_nx^n $$
Sapendo che il polinomio è di grado n=2 la soluzione particolare ha la seguente forma
$$ y_p = A_0 + A_1 x + A_2x^2 $$
Una volta nota la soluzione particolare yp calcolo la derivata prima yp' e la derivata seconda yp''
$$ y_p' = A_1 + 2A_2x $$
$$ y_p'' = 2A_2 $$
Quindi sostituisco yp, yp, yp alle funzioni y, y', y'' dell'equazione differenziale non omogenea
$$ y''+y = x^2 $$
Sostituisco y con yp=A0+A1x+A2x2
$$ y'' + (A_0+A_1x+ A_2x^2) = x^2 $$
Non essendoci y' sostituisco y'' con yp''=2A2
$$ 2A_2 + (A_0+A_1x+ A_2x^2) = x^2 $$
A questo punto calcolo il valore dei coefficienti A0, A1 e A2 per confronto.
Metto in evidenza le potenze dello stesso grado.
$$ 2A_2 + A_0+A_1x+ A_2x^2 = x^2 $$
$$ x^2 ( A_2 ) +x (A_1) + (A_0+2A_2) = x^2 $$
Eguaglio i coefficienti delle potenze dello stesso ordine e ottengo A2=1 , A1=0 e A0=-2A2=-2
$$ \begin{cases} A_2 = 1 \\ \\ A_1 = 0 \\ \\ A_0+2A_2 = 0 \end{cases} $$
Spiegazione. La prima equazione A2=1 si spiega perché nell'equazione x2(A2)+x(A1)+(A0+2A2)=x2 i coefficienti di x2 sono A2 nel membro di sinistra e 1 nel membro destra. $$ A_2 = 1 $$ La seconda equazione A1=0 si spiega perché nell'equazione x2(A2)+x(A1)+(A0+2A2)=x2 i coefficienti di x1 sono A1 nel membro di sinistra e 0 nel membro di destra. $$ A_1 = 0 $$ La terza equazione A0+2A2=0 si spiega perché nell'equazione x2(A2)+x(A1)+(A0+2A2)=x2 i coefficienti di x0 sono A0+2A2 nel membro di sinistra e 0 nel membro di destra. $$ A_0 + 2A_2 = 0 $$
Svolgo i calcoli algebrici per risolvere il sistema di equazioni
$$ \begin{cases} A_2 = 1 \\ \\ A_1 = 0 \\ \\ A_0+2(1) = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A_2 = 1 \\ \\ A_1 = 0 \\ \\ A_0+2(1) = 0 \end{cases} $$
$$ \begin{cases} A_2 = 1 \\ \\ A_1 = 0 \\ \\ A_0 = -2 \end{cases} $$
Una volta noti i valori dei coefficienti A0=-2, A1=0, A2=1 li sostituisco nella soluzione particolare yp
$$ y_p = A_0 + A_1 x + A_2x^2 $$
$$ y_p = (-2) + (0) x + (1)x^2 $$
$$ y_p = -2 + x^2 $$
Il risultato finale è una soluzione particolare dell'equazione differenziale iniziale
$$ y_p = x^2 -2 $$
Nota A questo punto per calcolare la soluzione generale (y) dell'equazione differenziale non omogenea y''+y = x2 mi basta calcolare la soluzione generale (yo) dell'equazione differenziale omogenea y''+y = 0 $$ y_o = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) $$ e sommare la soluzione particolare yp=x2-2. $$ y = y_o + y_p = [ c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) ] + (x^2-2) $$ $$ y = y_o + y_p = c_1 \cos(x) + c_2 \sin(x) + x^2-2 $$
Il termine noto è un esponenziale
Se il termine noto f(x) dell'equazione differenziale è un esponenziale
$$ ay''+by'+cy = ke^{\lambda x} $$
allora la soluzione particolare yp è
| f(x) | yp | condizioni |
|---|---|---|
| keλx | A·eλx | se λ=y non è una soluzione dell'equazione caratteristica omogenea ay2+by+c=0 |
| keλx | A·x·eλx | se λ=y è una soluzione di ay2+by+c=0 |
| keλx | A·xm·eλx | se λ=y è una soluzione di molteplicità m di ay2+by+c=0 |
Per vedere esempio di applicazione pratica vedere la risoluzione dell'esercizio y''-2y'-3y=e4x
Il termine noto è il prodotto tra un polinomio e un esponenziale
Se il termine noto f(x) dell'equazione differenziale è il prodotto tra un polinomio di grado n e un esponenziale
$$ ay''+by'+cy = P_n(x) \cdot e^{\lambda x} $$
allora la soluzione particolare yp è
| f(x) | yp | condizioni |
|---|---|---|
| Pn(x)·eλx | eλx·(A0+A1x+A2x2+...+Anxn) | se λ=y non è una soluzione dell'equazione caratteristica omogenea ay2+by+c=0 |
| Pn(x)·eλx | xm·eλx(A0+A1x+A2x2+...+Anxn) | se λ=y è una soluzione di ay2+by+c=0 di molteplicità m |
Per un esempio pratico di applicazione vedere l'esercizio y''-2y'+y=6xex
Il termine noto è il seno e/o coseno
Se il termine noto f(x) dell'equazione differenziale è la somma tra il seno e il coseno
$$ ay''+by'+cy = k_1 \sin(\lambda x) + k_2 \cos(\lambda x) $$
dove uno dei coefficienti k1 o k2 può anche essere zero
$$ ay''+by'+cy = k_1 \sin(\lambda x) \ \ \ \ se \ \ k_2 = 0$$
$$ ay''+by'+cy =k_2 \cos(\lambda x) \ \ \ \ se \ \ k_1 = 0 $$
allora la soluzione particolare yp è
| f(x) | yp | condizioni |
|---|---|---|
| k1·sin(λx)+k2·cos(λx) |
A·sin(λx)+B·cos(λx) | dove A e B sono coefficienti da determinare mentre λ è sempre lo stesso |
| k1·sin(λx)+k2·cos(λx) | x·[A·sin(λx)+B·cos(λx)] | se b=0 e iλ=y è una soluzione dell'equazione caratteristica omogenea ay2+by+c=0 |
Per vedere un'applicazione pratica rimando alla risoluzione dell'esercizio y''+4y'+13y=sin x
Nota. Se il termine noto ha solo uno dei due addendi (seno o coseno) la soluzione particolare li contiene entrambi.
Il termine noto è il prodotto tra un polinomio e il seno o coseno
Se il termine noto f(x) dell'equazione differenziale è il prodotto tra un polinomio e il seno o coseno
$$ ay''+by'+cy = P_n(x) e^{ \alpha x } \cos \beta x $$
$$ ay''+by'+cy = P_n(x) e^{ \alpha x } \sin \beta x $$
allora la soluzione particolare yp è
| f(x) | yp | condizioni |
|---|---|---|
| Pn(x)·eαx·cos(βx) |
(A0+A1x...+Anxn)·eαx·cos(βx)+(B0+B1x...+Bnxn)·eαx·sin(βx) | se α+iβ non è una soluzione dell'equazione caratteristica omogenea ay2+by+c=0 |
| Pn(x)·eαx·sin(βx) |
||
| Pn(x)·eαx·cos(βx) |
x(A0+A1x...+Anxn)·eαx·cos(βx)+x(B0+B1x...+Bnxn)·eαx·sin(βx) | se α+iβ è una soluzione dell'equazione caratteristica omogenea ay2+by+c=0 |
| Pn(x)·eαx·sin(βx) |
Per un esempio pratico di applicazione vedere l'esercizio y''-y=2x·sin x
Principio della sovrapposizione delle soluzioni
Se il termine noto dell'equazione differenziale del 2° ordine non omogenea è la somma di due termini noti speciali
$$ ay''+by'+cy = f_1(x) + f_2(x) $$
la soluzione particolare è la somma delle soluzioni particolari.
$$ y_p = y_{p1} + y_{p2} $$
Dove yp1 e yp2 sono rispettivamente le soluzioni particolari delle equazioni differenziali
$$ ay''+by'+cy = f_1(x) $$
$$ ay''+by'+cy = f_2(x) $$
Per un esempio pratico vedere l'esercizio y''+3y=x+2cos(x)
E così via.
