Le equazioni differenziali lineari
Un'equazione differenziale lineare è una combinazione lineare di tutte le derivate della funzione incognita y=y(x). Si presenta in questa forma $$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x) $$
Una spiegazione sintetica
La funzione y è la funzione incognita dell'equazione differenziale lineare ed è derivabile n volte in un intervallo [a,b] ∈ R.
$$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x) $$
I k-1 termini ai sono detti coefficienti dell'equazione differenziale.
Possono essere coefficienti fissi ai oppure coefficienti variabili ai(x) in funzione della variabile x.
- Coefficienti variabili
I coefficienti variabili sono funzioni continue nell'intervallo intervallo [a,b]∈R.
$$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x) $$ - Coefficienti fissi
I coefficienti fissi sono costanti reali.
$$ y^{(k)} + a_{k-1}y^{(k-1)} + ... + a_1y' + a_0y = g(x) $$
Il termine g(x) è il termine noto.
Può essere una funzione continua g(x) in un intervallo [a,b]∈R. oppure una funzione costante g(x)=k.
$$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = k $$
Se il termine noto è nullo g(x) = 0 l'equazione differenziale lineare è detta omogenea.
$$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0 $$
Nota. Il coefficiente della derivata di ordine maggiore è sempre uguale a 1. Questo accade perché un'equazione differenziale di ordine n ha necessariamente il coefficiente ak≠0 diverso da zero. $$ a_k y^{(k)} + a_{(k-1)}y^{(k-1)} + ... + a_1y' + a_0y = g(x) $$ Pertanto, è sempre possibile dividere entrambi i membri dell'equazione differenziale per ak. $$ \frac{ a_k }{ a_k } y^{(k)} + \frac{ a_{k-1} }{ a_k }y^{(k-1)} + ... + \frac{ a_1 }{ a_k }y' + \frac{ a_0 }{ a_k }y = \frac{g(x)}{a_k} $$ $$ y^{(k)} + \frac{ a_{k-1} }{ a_k }y^{(k-1)} + ... + \frac{ a_1 }{ a_k }y' + \frac{ a_0 }{ a_k }y = \frac{g(x)}{a_k} $$ In questo modo si può sempre scrivere l'equazione differenziale anche in forma normale $$ y^{(k)} = \frac{g(x)}{a_k} - \frac{ a_{k-1} }{ a_k }y^{(k-1)} - ... - \frac{ a_1 }{ a_k }y' - \frac{ a_0 }{ a_k }y $$
Perché si dice lineare?
Un'applicazione lineare L associa a ogni funzione derivabile k volte una funzione L(y)
$$ L(y) = y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y $$
Nota. Il lato sinistro dell'equazione differenziale è una combinazione lineare. $$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y $$ Quindi può essere visto come un operatore lineare L che associa una funzione di classe k (derivabile k volte) in una funzione di classe zero (la funzione incognita y) nell'intervallo (a,b). $$ L:C^k(a,b) \rightarrow C^0(a,b) $$ Essendo lineare valgono le proprietà $$ L(y+u)=L(y)+L(u) \ \ \ \forall y \in C^k \ \ \ \forall u \in C^k $$ $$ L(λy) = λ \cdot L(y) \ \ \ \forall y \in C^k \ \ \ \forall λ \in R $$
Essendo un'applicazione lineare, prese due due funzioni L(y) e L(u) e due numeri scalari α e β si ha
$$ L(α·y + β·u) = α·L(y)+β·L(u) $$
La relazione di linearità è particolarmente utile quando bisogna trovare le soluzioni dell'equazione differenziale L(y).
Le soluzioni di un'equazione differenziale lineare
Una soluzione dell'equazione differenziale lineare è una funzione y=y(x) derivabile k volte nell'intervallo [a,b] che soddisfa l'equazione.
$$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x) $$
La soluzione dell'equazione differenziale lineare è anche detta integrale.
Nota. L'equazione differenziale può avere una o più soluzioni. L'insieme di tutte le soluzioni dell'equazione differenziale è invece detto integrale generale.
Le proprietà dell'equazione differenziale lineare
Alcune proprietà utili delle equazioni differenziali lineari
- Se y(x) e u(x) sono due soluzioni della stessa equazione differenziale lineare omogenea, allora anche ogni loro combinazione lineare è una soluzione $$ L(y) = L(u) = L(α·y+β·u) = α·L(y)+β·L(u)=0 $$
- Se y(x) e u(x) sono due soluzioni della stessa equazione differenziale lineare non omogenea, allora anche ogni loro combinazione lineare è una soluzione $$ L(y) = L(u) = L(α·y+b·u) = α·L(y)+β·L(u)=g $$ Dove g=g(x) è il termine noto dell'equazione differenziale. Pertanto, la differenza L(y)-L(u) è una soluzione dell'equazione differenziale omogenea associata. $$ L(y-u) = L(y)-L(u) = g-g = 0 $$
Nota. Questo vuol dire che per trovare tutte le soluzioni dell'equazione differenziale (e.d) non omogenea $$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = g(x) $$ basta sommare una soluzione particolare dell'e.d. non omogenea alle soluzioni dell'e.d. omogenea associata. $$ y^{(k)} + a_{k-1}(x)y^{(k-1)} + ... + a_1(x)y' + a_0(x)y = 0 $$
- Se tutti i coefficienti sono definiti nell'intervallo (a,b) anche tutte le soluzioni sono definite in (a,b).
E così via.
