Topologia metrica

La topologia metrica su uno spazio $X$ è la topologia generata dalla base formata dalle open ball definite da una distanza $d$ su $X$. E' anche detta topologia indotta dalla distanza $d$.

In uno spazio metrico $(X, d)$, dove $d$ è una funzione che misura la distanza tra i punti di $X$, posso definire una topologia metrica formata da insiemi aperti costruiti usando le "open ball".

Una "open ball" centrata in un punto $x \in X$ con un raggio positivo $\varepsilon$ è l'insieme di tutti i punti $y$ di $X$ che si trovano a meno di $\varepsilon$ di distanza da $x$:

$$B_d(x, \varepsilon) = \{y \in X \mid d(x, y) < \varepsilon\}.$$

Nella topologia metrica, un insieme è aperto se può essere descritto come un'unione di queste palle aperte.

In altre parole, un insieme $U \subset X$ è aperto nella topologia metrica indotta da $d$ se e solo se, per ogni punto $y \in U$, esiste un raggio $\delta > 0$ tale che la palla $B_d(y, \delta)$ è contenuta in $U$.

Un esempio pratico

Considero lo spazio euclideo $\mathbb{R}$ in una dimensione, ossia una retta, con la distanza euclidea.

Lo spazio $\mathbb{R}$ è l'insieme di tutti i numeri reali.

La distanza $d$ tra due punti $x$ e $y$ in una retta è definita come:

$$d(x, y) = |x - y|$$

Dove $|x - y|$ rappresenta il valore assoluto della differenza tra $x$ e $y$.

Questa distanza soddisfa tutte le proprietà di una metrica.

Ora, posso costruire delle "open ball" in $\mathbb{R}$ usando questa distanza.

Ad esempio, considero il punto $x = 3$ e il raggio $\varepsilon = 1$.

La palla aperta centrata in $x = 3$ con raggio $1$ è:

$$B_d(3, 1) = \{y \in \mathbb{R} \mid d(3, y) < 1\} = \{y \in \mathbb{R} \mid |3 - y| < 1\}$$

Risolvendo l’inequazione $|3 - y| < 1$, ottengo $2 < y < 4$. Quindi:

$$B_d(3, 1) = (2, 4)$$

Questo significa che la palla aperta centrata in $3$ con raggio $1$ è l’intervallo aperto $(2, 4)$ sulla retta dei numeri reali.

Gli insiemi come $(2, 4)$, $(5, 7)$, o qualsiasi intervallo aperto $(a, b)$ in $\mathbb{R}$ possono essere visti come palle aperte o unioni di palle aperte rispetto alla distanza $d(x, y) = |x - y|$.

Questi intervalli formano una base per la topologia metrica di $\mathbb{R}$.

Nota. Nella topologia metrica di $\mathbb{R}$, un insieme è aperto se, per ogni punto in esso, è possibile trovare un intervallo aperto (una palla aperta) contenuto nell'insieme. Ad esempio, $(0, 5)$ è un insieme aperto, perché per ogni punto in $(0, 5)$ posso trovare un piccolo intervallo attorno a quel punto che è contenuto in $(0, 5)$.

In sintesi, usando la distanza $d(x, y) = |x - y|$ su $\mathbb{R}$, ottengo la topologia standard degli intervalli aperti, che chiamo topologia metrica su $\mathbb{R}$.

Gli insiemi aperti nella topologia metrica

Nella topologia metrica un insieme $U \subset X$ è un insieme aperto se per ogni punto $y$ che appartiene a $U$, esiste una open ball centrata in $y$ (quindi una "zona intorno a $y$" con un certo raggio $\delta$) che è completamente contenuta in $U$.

In qualsiasi punto $y$ in $U$ di un insieme aperto $U$ è sempre possibile trovare un piccolo "cerchio" (o sfera, se lo spazio è in più dimensioni) che resta completamente all'interno di $U$.

Questo è ciò che rende l'insieme "aperto": ogni punto in $U$ ha una zona intorno a sé che non "esce" da $U$.

Ecco un esempio di insieme aperto in uno spazio metrico $\mathbb{R}^2$.

 

Gli insiemi chiusi, invece, sono semplicemente le chiusure delle open ball, ossia gli insiemi che includono anche il bordo (o confine) oltre che ogni punto $y$ al loro interno.

In breve, questo teorema formalizza l'idea di apertura in termini di "vicinanza" di ogni punto all'interno dell'insieme.

I vari tipi di metriche

Le topologie indotte possono essere basate su diverse metriche, non sono sulla metrica standard euclidea (circolare.

Ad esempio, esistono le metriche più applicate sul piano $\mathbb{R}^2$ sono:

• Metrica standard (o metrica euclidea)
  Questa metrica genera insiemi aperti di forma circolare, che sono le solite palle rotonde sul piano. Induce la topologia standard su $\mathbb{R}^2$. $$d(p, q) = \sqrt{(p_1 - q_1)^2 + (p_2 - q_2)^2}$$
  
• Metrica taxi (o metrica della distanza di Manhattan)
  Con questa metrica, le palle aperte hanno la forma di un diamante (o rombo) e sono centrate in $p$. Anche questa metrica induce la topologia standard su $\mathbb{R}^2$. $$d_T(p, q) = |p_1 - q_1| + |p_2 - q_2|.$$
  
• Metrica max
  In questa metrica, le palle aperte hanno forma quadrata e sono centrate in $p$, con lato di lunghezza pari a $2\varepsilon$. Anche questa metrica induce una topologia su $\mathbb{R}^2$.
  $$d_M(p, q) = \max\{|p_1 - q_1|, |p_2 - q_2|\}$$
   

Queste tre metriche, pur avendo diverse forme per le palle aperte (circolare, a diamante, e quadrata), inducono tutte una topologia metrica su $\mathbb{R}^2$.

Note a margine

Alcune note aggiuntive sulle topologie indotte da una metrica.

• Teorema del confronto tra topologie metriche

  Siano $d$ e $d'$ due metriche su un insieme $X$, che inducono rispettivamente le topologie $\mathcal{T}$ e $\mathcal{T}'$. La topologia $\mathcal{T}'$ è più fine di $\mathcal{T}$ se e solo se, per ogni $x \in X$ e ogni $\varepsilon > 0$, esiste un $\delta > 0$ tale che: $$B_{d'}(x, \delta) \subseteq B_d(x, \varepsilon)$$ dove $B_{d}(x, \varepsilon)$ e $B_{d'}(x, \delta)$ sono le palle aperte centrate in $x$ nelle due metriche.

  In parole semplici, $\mathcal{T}'$ è più fine di $\mathcal{T}$ se ogni insieme aperto nella topologia di $d$ contiene almeno un insieme aperto della topologia di $d'$.
• Teorema della metrica limitata
  In uno spazio metrico $(X, d)$, è possibile definire una nuova metrica limitata $d'(x, y) = \min(d(x, y), 1)$ che preserva la stessa topologia di $d$, garantendo che gli insiemi aperti generati da $d$ e $d'$ coincidano.

E così via.