Il teorema di Urysohn

Se uno spazio topologico è regolare e ha una base numerabile, allora è metrizzabile.

In altre parole, ogni spazio topologico regolare con una base numerabile può essere descritto da una metrica che genera la stessa topologia.

• Uno spazio è regolare se, per ogni punto e per ogni insieme chiuso che non lo contiene, è possibile trovare due insiemi aperti disgiunti che li separano. In pratica, i punti e gli insiemi chiusi possono essere “tenuti a distanza” con insiemi aperti.
• Uno spazio ha una base numerabile se esiste un insieme numerabile di insiemi aperti da cui si possono ottenere tutti gli altri aperti. In altre parole, basta un numero finito o numerabile di “mattoni” per costruire tutta la topologia. Dove "numerabile" significa che gli elementi possono essere elencati in una sequenza, anche infinita, assegnando a ciascuno un numero naturale (1, 2, 3, …).

Quindi, se uno spazio è abbastanza ordinato (regolare) e non troppo grande o complicato (base numerabile), posso sempre descriverlo usando una distanza.

Non vale il teorema inverso. Se uno spazio è metrizzabile, non significa necessariamente che possieda una base numerabile o che sia regolare per definizione.  In altre parole, esistono spazi in cui posso definire una distanza, ma che non soddisfano le condizioni richieste dal teorema. Il teorema di Urysohn dice solo quando una metrica può esistere, ma non garantisce che tutte le metriche rispettino le stesse proprietà topologiche.

La spiegazione

Il teorema della metrizzazione di Urysohn spiega quando uno spazio topologico può essere descritto con una distanza, cioè quando possiamo passare da concetti astratti di “aperti” e “chiusi” a una metrica vera e propria.

L’idea di fondo è che in topologia non sempre si parte da una distanza. A volte si definiscono solo quali insiemi sono aperti, e da lì si costruisce tutta la struttura dello spazio.

Il problema è capire quando una topologia può essere rappresentata da una metrica. Quando esiste una funzione $ d(x,y) $ che misura le distanze in modo coerente con quella topologia?

Urysohn trovò una condizione precisa: uno spazio topologico è metrizzabile se soddisfa due proprietà fondamentali:

• È regolare. in altre parole, per ogni punto e ogni insieme chiuso disgiunto, si possono trovare due insiemi aperti che li separano. Questo garantisce una certa “buona separazione” dei punti nello spazio.
• Ha una base numerabile, cioè esiste un insieme contabile di aperti da cui si può generare tutta la topologia. Serve a evitare che lo spazio sia “troppo grande” dal punto di vista topologico.

Se entrambe queste condizioni sono vere, allora lo spazio topologico è uno spazio metrizzabile, ossia può essere descritto con una metrica.

Perché è importante? Questo teorema stabilisce un legame tra topologia e geometria. Dice, in pratica, che certi spazi topologici “ben comportati” si possono trattare come spazi metrici, cioè come luoghi in cui ha senso parlare di distanza, convergenza e continuità nel modo familiare della geometria. Molti spazi che si usano in analisi e fisica, come la retta reale, il piano o gli spazi euclidei, rientrano in questa categoria.

Un esempio concreto

La retta reale ℝ con la topologia standard, quella fatta di intervalli aperti, soddisfa le due condizioni:

• E' regolare
• Ha una base numerabile (gli intervalli con estremi razionali).

Quindi, per il teorema di Urysohn, la retta reale ℝ è uno spazio metrizzabile, infatti la distanza $ d(x, y) = |x - y| $ funziona perfettamente: genera proprio quella stessa topologia.

Nota. La topologia standard della retta reale è quella in cui gli insiemi aperti sono unioni di intervalli aperti del tipo (a, b).
Significa che un punto $ x $ appartiene a un insieme aperto $ A $ se esiste un piccolo intervallo $ (x - \varepsilon, x + \varepsilon) $ interamente contenuto in $ A $. È la topologia che deriva direttamente dalla distanza euclidea $ |x - y| $: è quella “naturale” che usiamo in analisi, dove i concetti di limite, continuità e convergenza coincidono con quelli geometrici intuitivi.
 

Esempio 2

Considero la retta reale ℝ con la topologia discreta.

Si tratta di uno spazio metrizzabile, perché può essere misurato con la metrica discreta

$$ d(x, y) =
\begin{cases}
0, & \text{se } x = y \\ \\
1, & \text{se } x \ne y.
\end{cases}
$$

Tuttavia, la sua base non è numerabile, perché ogni punto forma un insieme aperto distinto e i punti reali sono infiniti e non numerabili.

Questo conferma che non vale l'inverso del teorema, uno spazio metrizzabile non è necessariamente dotato di una base numerabile.

Nota. La topologia discreta è la più “fine” possibile su un insieme: ogni sottoinsieme è aperto e anche chiuso. In particolare, ogni punto forma da solo un insieme aperto, cioè $$ {x} \text{ è aperto per ogni } x \in \mathbb{R}. $$ In questo tipo di topologia, non c’è “continuità” tra i punti: ognuno è isolato dagli altri. È quindi una topologia molto semplice, ma anche “troppo dettagliata” per essere gestita da una base numerabile, quando l’insieme dei punti (come in ℝ) è non numerabile.
E così via.